{"nodes":[{"Titre":"Test Olympiades Maths 20232nde-1ere","Niveau":null,"Question":"

Probl\u00e8me 1 :

\n

Un num\u00e9ro de t\u00e9l\u00e9phone particulier !!!

\n

Un num\u00e9ro de t\u00e9l\u00e9phone a la forme $ABC-DEF-GHIJ$, o\u00f9 chaque lettre repr\u00e9sente un chiffre
\ndiff\u00e9rent.

\n

Les chiffres de chaque partie du nombre sont dans l'ordre d\u00e9croissant ; c'est-\u00e0-dire
\n$A>B>c\\;,D>E>F$ et $G>H>I>J$

\n

De plus, $D$, $E$ et $F$ sont des chiffres pairs cons\u00e9cutifs, $G$, $H$, $I$ et $J$ des chiffres impairs cons\u00e9cutifs et $A+B+C=9$
\n\u00a0
\nQuelle est la valeur de $A$ ?

\n

Probl\u00e8me 2 :

\n

De la g\u00e9om\u00e9trie dans un triangle !!!

\n

$ABC$ est un triangle.

\n

La bissectrice int\u00e9rieure de l'angle
\n$:\\overbrace{CAB}$ coupe $[CB]$ en $M'.$

\n

Prouve que :

\n

$\\dfrac{1}{MM'}=\\dfrac{1}{AB}+\\dfrac{1}{AC}$

\n

\"\"

\n

Probl\u00e8me 3 :

\n

Apprenons \u00e0 compter !!!

\n

Combien y-a-t-il d'entiers naturels non nuls inf\u00e9rieurs \u00e0 $2023$ qui sont des multiples de $3$ ou $4$ mais pas de $5$ ?

\n

Probl\u00e8me 4 :

\n

Un calcul d4aire !!!

\n

Quatre grands cercles de rayon $5$ sont dispos\u00e9s de mani\u00e8re que leurs centres soient les sommets d'un carr\u00e9.

\n

Chacun des grands cercles est tangent \u00e0 deux autres grands cercles (c'est-\u00e0-dire que
\nchacun des grands cercles est dispos\u00e9 de mani\u00e8re \u00e0 toucher les bords des deux autres grands cercles) comme dans la figure ci-dessous

\n

\"\"

\n

Un petit cercle de rayon $r$ est trac\u00e9 dans la r\u00e9gion situ\u00e9e entre les quatre grands cercles.

\n

Le petit cercle est tangent \u00e0 chacun des
\ngrands cercles.

\n

L'unit\u00e9 \u00e9tant le centim\u00e8tre, calcule l'aire de la partie hachur\u00e9e

\n
","Type":null},{"Titre":"Olympiades nationales 2nde 1ere 2024","Niveau":null,"Question":"

Probl\u00e8me 1 :

\n

Soit $f$ une fonction d\u00e9finie sur $\\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\\in\\mathbb{R}\\;,f(x +2\\,f)\\left(\\dfrac{x+2023}{x-1}\\right)=4013-x.$

\n

Calcul $f(2025)$

\n

Probl\u00e8me 2 :

\n

Soit $\\Gamma_{1}$ et $\\Gamma$ deux cercle se coupant aux poins $A$ et $B$

\n

Une tangente commune $\\Delta$ aux deux cercles $\\Gamma_{1}$ et $\\Gamma_{2}$ respectivement aux points de contacts $C$ et $D$ est coup\u00e9e par la droite $(AB)$ en $M$

\n

d\u00e9montre que $M$ est milieu du segment $[CD]$

\n

Probl\u00e8me 3 :

\n

Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres r\u00e9els strictement positifs.

\n

D\u00e9montrer l'in\u00e9galit\u00e9 :

\n

$\\dfrac{a}{b+c}+\\dfrac{b}{c+a}+\\dfrac{c}{a+b}\\geq \\dfrac{3}{2}$

\n

Probl\u00e8me 4 :

\n

Soit $x$, $y$, $z$, $a$, $b$, et $c$ des nombres r\u00e9els strictement positifs v\u00e9rifiant : $\\dfrac{x}{a}=\\dfrac{y}{b}=\\dfrac{z}{c}$

\n

D\u00e9montre l'\u00e9galit\u00e9 : $\\sqrt{ax}+\\sqrt{by}+\\sqrt{cz}=\\left(\\sqrt{a+b+c}\\right)\\left(\\sqrt{x+y+z}\\right)$

\n

Question 5

\n

Trouver tous les entiers $a$ et $b$ strictement positifs v\u00e9rifiant l'\u00e9quation

\n

$\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{a}{b}+\\dfrac{1}{ab}=1$

\n

\u00a0

\n
","Type":null},{"Titre":"Test Olympiades Maths 2024 Niveau 2nde 1\u00e8re","Niveau":null,"Question":"

Probl\u00e8me 1 :

\n

Racines particuli\u00e8res !!!

\n

L'\u00e9quation $x^{2}-3x+q=0$ a deux racines r\u00e9elles $\\alpha$ et $\\beta$

\n

Sachant que $\\alpha^{3}+\\beta^{3}=81.$,trouve la valeur de $q$

\n

Probl\u00e8me 2 :

\n

\u00c9quation de degr\u00e9 $4$ !!!

\n

R\u00e9sous dans $\\mathbb{R}$ l'\u00e9quation $x^{4}+16x-12=0$

\n

Probl\u00e8me 3 :

\n

Les pigeons !!!
\n\u00a0
\nNeuf points, dont trois quelconques ne se trouvent pas sur la m\u00eame droite, sont situ\u00e9s \u00e0 l'int\u00e9rieur d'un triangle \u00e9quilat\u00e9ral dont la longueur d'un c\u00f4t\u00e9 est \u00e9gale \u00e0 $4.$

\n

Prouve que parmi ces points il y en a trois qui sont les sommets d'un triangle dont l'aire est inf\u00e9rieure ou \u00e9gale \u00e0 $\\sqrt{3}$

\n

Probl\u00e8me 4 :

\n

Le myst\u00e8re des angles !!!

\n

Soit $ABCD$ un carr\u00e9.

\n

Consid\u00e9rons les points $E$ et $F$ respectivement sur les segments $[AB]$ et $$[BC]$ tels que $\\overbrace{AED}=\\overbrace{DEF}$

\n

Prouve que $EF=AE+FC$

\n

\"\"

\n

Probl\u00e8me 5 :

\n

Longueur d'un arc !!!

\n

$ABCDE$ est un pentagone r\u00e9gulier.

\n

Soit un cercle de rayon $R$ tangent \u00e0 $(DC)$ en $D$ et \u00e0 $(AB)$ en $A.$

\n

La longueur de l'arc $\\overbrace{AD}$ est :

\n

a. $\\dfrac{3R\\pi}{5}$

\n

b. $\\dfrac{3R\\pi}{5}$

\n

c. $\\dfrac{2R\\pi}{3}$

\n

d. $\\dfrac{3R\\pi}{4}$

\n

e. $\\dfrac{4R\\pi}{5}$

\n

Choisis la bonne r\u00e9ponse et justifie

\n

\"\"

\n

\u00a0

\n
","Type":"Olympiades"},{"Titre":"Pr\u00e9-test Olympiades Maths 2024 Niveau 2nde 1\u00e8re","Niveau":null,"Question":"

Probl\u00e8me 1

\n
Trouver tous les nombres $n$ \u00e0 $3$\u00a0 chiffres multiples de $5$ tels que $n-7$ soit divisible par $3$ et $n+7$\u00a0 divisible par $4.$
\n

Probl\u00e8me 2

\n
Soit $\\alpha$ un r\u00e9el tel que $\\alpha+\\dfrac{1}{\\alpha}$est un entier.\n

Montrer que $\\alpha^{3}+\\dfrac{1}{\\alpha^{3}}$ est un entier.

\n

Probl\u00e8me 3

\n
Combien y a-t-il de nombres \u00e0 $4$ chiffres $N=\\overline{abcd}$ v\u00e9rifiant les conditions suivantes :\n

$(i)400\\leq N<6000$ ;

\n

$(ii)N$ est un multiple de $5$ ;

\n

$(iii)3\\leq b<c\\leq 6$

\n

Probl\u00e8me 4

\n
Soit la fonction $f$ v\u00e9rifiant pour tout\n

$\\neq 0\\;,\\dfrac{1}{x}f(-x)+f\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)=x.$

\n

Calculer $f(2024)$

\n

Probl\u00e8me 5

\n
$ABCDEFGH$ le grand cube ci-contre a \u00e9t\u00e9\u00a0 \u00e9vid\u00e9 du petit cube $A'BC'D'E'F'G'H'$pour obtenir le solide colori\u00e9.\n

Sachant que le volume du solide obtenu est de $936\\,cm^{3}$ et que $AA'=8\\,cm$, calculer l'ar\u00eate du grand cube

\n

\"\"

\n
","Type":null},{"Titre":"Pr\u00e9 test Olympiades Maths 2023 Niveau 2nde-1ere Pr\u00e9-test : niveau $2^{nd}- 1^{\u00e8re}$","Niveau":"Lyc\u00e9e","Question":"

Probl\u00e8me 1 :

\n

Les nombres pointus !!!

\n

On appelle nombre \u00ab pointu \u00bb un nombre entier naturel \u00e0 trois chiffres distincts dont le plus grand chiffre est celui des dizaines.

\n

Combien y a-t-il de nombres \u00ab pointus \u00bb non divisibles par $5$

\n

Probl\u00e8me 2 :

\n

Un losange dans un rectangle !!!

\n

Dans la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle et $AECF$ un losange.

\n

Sachant que $AB=16$ et $AD=12$ , calcule $EF$

\n

\"\"

\n

Probl\u00e8me 3 :

\n

Une fonction \u00e9trange !!!

\n

Soit $f$ la fonction qui \u00e0 tout couple d'entiers naturels $(x\\ ;\\ y)$ associe l'entier naturel $f(x\\ ;\\ y)$ tel
\nque :

\n

$f(0\\ ;\\ y)=y+1$ ;

\n

$f(x\\ ;\\ 0)=f(x-1\\ ;\\ 1)$ et

\n

$f(x+1)=f(x\\ ;\\ f(x+1\\ ;\\ y))$

\n

Calcule $(2\\ ;\\ 1)$ et $f(2\\ ;\\ 2)$

\n

Probl\u00e8me 4 :

\n

Un produit pas comme les autres !!!

\n

D\u00e9termine la valeur du produit :

\n

$\\left(1-\\dfrac{1}{2^{2}}\\right)\\left(1-\\dfrac{1}{3^{2}}\\right)\\left(1-\\dfrac{1}{4^{2}}\\right)\\left(1-\\dfrac{1}{5^{2}}\\right)\\ldots\\left(1-\\dfrac{1}{2023^{2}}\\right)$

\n

\u00a0

\n
","Type":"Olympiades"}],"pager":{"pages":1,"page":0,"count":5,"limit":100}}