Composition du première semestre - 1e L

Exercice 1

On considère le polynôme $P$ définie par : $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+3x+4$

1. Quel est le degré de $P$ ?

2. Montrer que $1$ est une racine de $P$

3. Déterminer le degré du polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$

4. Factoriser $P(x)$

5.Montrer que la factorisation complète de $P$ est : $P(x)=(2x+1)(x-1)(x-4)$ 

6. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $(x)=0
$

7. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $P(x)\leq 0$

8. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$, de l'équation : $\left(2x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)=0$

Exercice 2

1. Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de $f$

a. $f(x)=x^{3}+3x^{2}-2$

b. $f(x)=\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-4x+3}$

c. $f(x)=\sqrt{x^{2}+x-6}$

2. Étudier la parité des fonctions suivantes :

a. $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

b. $f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{x^{2}+9}$

Exercice 3

1. Calculer les limites suivantes :

a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2}\dfrac{3x^{2}+2x-3}{x-2}$

b. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}-7x^{5}+4x^{3}+3x-1$

c. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{3x^{2}+4x+2}{2x^{2}-x+1}$

d. $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{-2x^{3}-x^{2}-5}{x^{2}+2}$

e. $\lim\limits_{x\longrightarrow -\infty}\dfrac{5x-2}{x^{2}+2x+2}$

f. $\lim\limits_{x\longrightarrow 2}\dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-4}$

2. Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée $f'(x)$ du $f$

a. $f(x)=5x^{3}-7x^{2}-x+1$

b. $f(x)=(2x-5)\left(x^{2}+3x\right)$

Bonus :

On donne le polynôme $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que : $P(1)=0$, $P(2)=-10$ et $P(-1)=-10$