Composition du première semestre - 1er L

Exercice 1

Partie A

On donne le polynôme $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont réels.

1. Comment appelle-t-on les réels $a$, $b$ et $c$ ?

2. Sachant que $1$ est une racine de $P$, montrer que : $a+b+c=-2$

3. On donner $P(2)=-10$ et $P(-1)=-10$

Montrer que : $4a+2b+c=-20$ et $a-b+c=-8$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$, par la méthode du pivot de Gauss le système suivant :
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b+c&=&-2\\ 4a+2b+c&=&-26\\ a-b+c&=&-8 \end{array}\right.$$

Partie B :

On considère le polynôme $P$ défini par : $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+3x+4$

1. Quel est le degré de $P$ ?

2. Montrer que $1$ est une racine de $P$

3. Déterminer le degré du polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$

4. Factoriser $P(x)$

5. Montrer que la factorisation complète de $P$ est : $P(x)=(2x+1)(x-1)(x-4)$

6. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation : $P(x)=0$

7. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $P(x)\leq 0$

8. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de $\left(2x^{2}+1\right)\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)=0$

Exercice 2

1. Rappeler la définition des expressions suivantes :

a. Fonction paire

b. Fonction impaire

2. Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition de $f$

a. $f(x)=x^{2}+3x^{2}-2$

b. $f(x)=\dfrac{2x^{2}+4x-5}{x+2}$

c. $f(x)=\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}+x+3}$$

d. $f(x)=\sqrt{x^{2}+x-6}$

3. Étudier la parité des fonctions suivantes :

a. $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$

b. $f(x)=\dfrac{x}{x^{4}-1}$

c. $f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{x^{2}-9}$