Composition première semestre 2023-2024

Exercice 1

On donne le polynôme $P(x)=x^{3}-x^{2}-4x+4$

1. Montrer que $1$ est une racine de $P(x)$

2. Déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$

3. Écrire $P(x)$ comme produit de polynôme de degré $1$

4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ 

a. L'équation $P(x)=4$

b. L'inéquation $(x-1)\left(X^{2}-4\right)\leq 0$

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ chacun des système ci-dessous par la méthode du pivot de GAUSS

1. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+z&=&2\\ 2y+z&=&3\\ z&=&1\end{array}\right.$

2. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ 2x-y+z&=&3\\ -x+y+z&=&4 \end{array}\right.$

Exercice 3

Un atelier de couture fabrique deux types de robes "mondiale" et "taille" à l'aide de
deux machines $M_{1}$ et $M_{2}$

Chaque robe en cours de fabrication doit passer successivement sur les deux machines
dans un ordre indiffèrent.

La durée de passage en minutes des robes dans les machines et la disponibilité de chaque
machine sont consignées dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &\text{Durée de passage }&\text{Durée de passage }&\text{Disponibilité en}\\
&\text{d'une robe "mondaile"}&\text{d'une robe "taille"}&\text{minutes par mois }\\ \hline \text{machine }M_{1}&30&20&3000\\ \hline \text{Machine }M_{2}&40&10&2000\\ \hline \end{array}$

Une robe "mondiale" rapporte un bénéfice de $400$ FCFA et une robe "taille" rapporte un
bénéfice de $200$ FCFA .

Soit $x$ le nombre de robes "mondiale" et $y$ celui de robes "taille"

1. Montrer que le système de contraintes qui traduit le problème est équivalent à

$(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+2y&\leq&300\\ 4x+y&\leq&200\\ x&\geq&0\\ y&\geq&0 \end{array}\right.$

2. Résoudre graphique le système $(S)$

On prendra l'échelle : $1\,cm$ pour $50$ robes

3. Exprimer le bénéfice $B$ en fonction de $x$ et $y$

4. Cet atelier peut-il fabriquer $25$ robes $\text{"mondiale"}$  et $50$ robes $\text{"taille"}$ ?

5. Déterminer le nombre de robes de chaque type que cet atelier doit fabriquer par mois pour réaliser un bénéfice maximal.