Composition premier semestre 1er S1

Exercice 1

Soit $P$ et $q$ sont deux fonctions définis pour tout réel $x$ non par :

$P(x)=x^{6}-5x^{5}+4x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-5x+1$

$q(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+7$

1. Montrer que $\dfrac{q(x)}{p(x)}=\dfrac{1}{x^{3}}$

2. Montrer que les équations $p(x)=O$ et $q(x)=O$ sont équivalentes et déterminer leurs
solutions communes

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $\sqrt{2+x^{2}}\times q(x)=\dfrac{2}{x^{2}}p(x)$

Exercice 2

Soit les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par : $f(x)=x^{2}-x$ et $g(x)=\sqrt{x}$

1. Déterminer le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et $g$

2. En déduire les variations de la fonction $h=f^{\circ}g$ sur chacun des intervalles $\left[O\ ;\ \dfrac{1}{4}\right)$ et $\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ +\infty\right[$

3. Montrer que h admet un minimum absolu au point d'abscisse $\dfrac{1}{4}$

4. On considère la fonction numérique $k$ définie par : $k=g^{\circ}f$

a. Déterminer $D_{k}$, l'ensemble de définition de $k$

b. Déterminer le sens de variation de la fonction $k$

c. Calculer $k(x)$ pour $x\in D_{k}$

d. Comparer les fonctions $k$ et $g$

Exercice 3

$ABCD$ un parallélogramme de centre $\mathbb{O}$

Soit $G=\bar{(A\;,6)\ ;\ (B\;,-1)\ ;\ (C\;,3)\ ;\ (D\;,-5)}$ et $G'=\bar{(B\;,2)\ ;\ (C\;,3)\ ;\ (D\;,-2)}$

1. Construire les points $G$ et $G'$

2. Montrer que les segments $[AG']$ et $[CG]$ ont même milieu.

3. Soit $I$ milieu de $\left[GG4\right]$ 

Montrer que les points $I$, $B$ et $D$ sont alignés.

4. On considère le repère $\left(A\;,\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AD}\right)$

Déterminer les coordonnées de $G$ et $G'$

5. Vérifier avec les coordonnées que les points $I$, $B$ et $D$ sont alignés 

6. Soit $\left(\Omega_{1}\right)$ l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant

$\left|\left|6\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MD}\right|\right)|=\left|\left|2\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD}\right|\right|$

Soit $\left(\Omega_{2}\right)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que les vecteurs

$6\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-5\overrightarrow{MD}$ et $2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$ soient orthogonaux

Déterminer la nature de $\left(\Omega_{1}\right)$ et $\left(\Omega_{2}\right)$ puis les construire sur la figure précédente

Exercice 4

Soit la fonction $f$ définie sur $[-3\;,4]$ et sont la représentation graphique est donné ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement :

a. L'image direct par $f$ de l'intervalle $I=@]-2\ ;\ 2[$

b. L'image réciproque par $f$ de l'intervalle $J=[2\ ;\ 3]$

2. Reproduire la courbe et construire, les courbes représentatives $\left(C_{1}\right)$ et $\left(C_{2}\right)$ respectives des fonctions $f_{1}\ :\ x\mapsto f(x+2)$ et $f_{2}\ :\ x\mapsto f(|x|)$