Concours miss science - 2020-2021

Épreuve de mathématique

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune et inéquations suivantes

a. $|2x+5|\leq 3$ ; 

b. $|-5x+1|>-2$ ; 

c. $x^{2}+2x-15=0$ ; 

d. $2x^{2}-9x+4\geq 0$

2. On considère les nombres $B=\sqrt{6-\sqrt{6-\sqrt{6-\sqrt{6-\sqrt{\dfrac{4\sqrt{27}}{3\sqrt{3}}}}}}}$

C. $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(1-\sqrt{6})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{8})^{2}}$

Montrer que $C=3$ et montrer que $B$ est un nombre entier.

a. $\sqrt{\dfrac{b}{a}}=b\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

b. $\sqrt{\dfrac{a+b}{2^{-}}}\geq\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$

4. Soit $A=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ Indiquer le signe de $A.$

Calculer $A^{2}$ et en déduire $A.$

Exercice 2

Soit le polynôme $P(x)=ax^{3}-x^{2}+bx-a$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels

1. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $-1$ et $2$ soient des racines de $P(x).$

2. On suppose dans la suite de l'exercice que $a=2$ et $b=-5$

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$P(x)\leq 0$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

$2|2x-3|^{3}-|2x-3|^{2}-5|2x-3|-2=0$

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :

$\dfrac{p(x)}{x^{2}-5x+6}\geq 0$

Exercice 3

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points alignés du plan.

1. Construire les points $E$, $H$, $F$ et $L$ tels que :

$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{CB}$ ; 

$\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$ ;

$\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ et 

$\overrightarrow{AL}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

2.a. Exprimer $\overrightarrow{CH}$ en fonction de $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$

b. Montrer que :

$\overrightarrow{CE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CB}$

c. En déduire que les droites $(FL)$ et $(CH)$ sont parallèles.

4. On note $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[AC]$, $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$ et $G'$ le barycentre su système ${(A\ ;\ -1)\ ;\ (B\ ;\ 2)\ ;\ (C\ ;\ 2)}$

a. Construire $I$, $J$ et $G$ 

b. Démontrer que $\overrightarrow{CE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG'}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AI}$

En déduire une Construction de $G'$

c. Démontrer que $G$ est le milieu de $\left[AG'\right]$

d. Déterminer puis construire l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ du plan tels que :

$|-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$