Concours miss sciences - 2nd

Pour chacune des questions de cette partie, mets une croix dans la case correspondant à la bonne
réponse.

$\begin{array}{|c|c|} \hline& 1. \text{Les solutions de }x^{2}-5x+5=-1\text{sont :}\\ &\dfrac{5-\sqrt{20}}{2}\text{ et }\dfrac{5+\sqrt{20}}{2}\\ &x=-3\text{ ou }x=2\\ &x=3\text{ ou }x=2\\ &x=3\text{ ou }x=-2\\ \hline &2.\text{Sur la figure ci-dessus où le segment }[CD]\\ &\text{est divisé en cinq parties égales, le point }D\\ &\text{est le barycentre de :}\\ &{(A\;,2)\ ;\ (B\;,-3)}\\ &{(A\;,2)\ ;\ (B\;,5)}\\ &{(A\;,-2)\ ;\ (B\;,5)}\\ &{(A\;,5)\ ;\ (B\;,-2)}\\ \hline &3. \text{L'ensemble des solutions de }\\ &-x^{2}+x+2>0\text{ est :}\\ &\left[-2\;,1\right]\\ &\left[0\;,+\right[\\ &\left]\infty\;,-1\right[\cup\left]2\;,+\infty\right[\\ &\left]-1\;,2\right[\\ \hline &4.\text{ La droite }(D)\text{passant par }A(-2\;,3)\\ &\text{et de vecteur }\vec{v}(3\;,2)\\&\text{ a pour système d’équations paramétriques :}\\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&3-2k\quad\ ;\ k\in\mathbb{R}\\ y&=&2+3k \end{array}\right.\\&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-2+3k\\ y&=&3+2k \end{array}\right.\\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-2+3k\quad\ ;\ k\in\mathbb{R}\\y&=&3+2k\end{array}\right.\\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&3+2k\quad\ ;\ k\in\mathbb{R}\\ y&=&2+3k \end{array}\right. \\ \hline &5 \text{L'ensemble des solutions de }\\ &|2-x|<1\text{ est }\\ &\left]-3\;,-1\right[\\ &\left]1\;,3\right[\\ &\left(1\;,3\right)\\ &\left]1\;,+\infty\right[\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|} \hline &6. \text{L'équation cartésienne de la droit }(D)\\ &\text{passant par }A(0\;,1)\text{et de vecteur }\\ &\text{directeur }\vec{v}(2\;,21)\text{ est :}\\ \hline &2x+y-1=0\\ \hline &x-2y+2=0\\ \hline &2x-y+1=0\\ \hline &2x-y+2=0\\ \hline &7. \text{Les droites }(D)\text{ et }\left(D'\right)\\ &\text{d’équations respectives :}2x-y+3=0\\ &\text{et }\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&3-2k\quad\ ;\ k\in\mathbb{R}\text{ sont :}\\ y&=&2+3k \end{array}\right.\\ \hline &\text{ perpendiculaires }\\ \hline &\text{confondues }\\ \hline &\text{sécantes }\\ \hline &\text{strictement parallèles }\\ \hline &8. \text{La mesure principale de }\dfrac{17\pi}{5}\text{ est :}\\ \hline &\dfrac{2\pi}{5}\\ \hline &\dfrac{-3\pi}{5}\\ \hline &\dfrac{7\pi}{5}\\ \hline &\dfrac{3\pi}{5}\\ \hline &9. ABCD\text{ est un carré de côté a et de centre }\\ &O\text{Le produit scalaite }\\ &\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OD}\text{ est égale à :}\\ \hline &\dfrac{-a^{2}}{2}\\ \hline &a^{2}\\ \hline &\dfrac{a^{2}}{2}\\ \hline &0\\ \hline &10. \text{L'image de la droite }(D)\ :\ \\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&2+k\quad\ ;\ k\in\mathbb{R}\\ y&=&3k+1 \end{array}\right.\\ &\text{par la translation de vecteur }\\ &\vec{v}(2\;,1)\text{ a pour équation }\\ \hline &x-3y-10=0\\ \hline &y=3x-5\\ \hline &2x+y-5=0\\ \hline &y=3x-10\\ \hline \end{array}$

Partie $B$

Exercice 1 

On considère $ABC$ un triangle rectangle en $A.$

Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$, $I$ le milieu de $[BH]$ et $J$ celui de $[AH].$

1. Montrer que les droites $(IJ)$ et $(AB)$ sont parallèles.

2. Montrer que les droites $(AI)$ et $(CJ)$ sont perpendiculaires.

Exercice 2 

L'unité de mesure est le centimètre

Vous disposez de deux segments $[AB]$ et $[MN]$ ci-contre tels que $AB=1$ et $MN=a$

$1.$ A l'aide d'un compas et d'une règle non graduée, construis le segment $[RC]$ de mesure $a^{2}$

2. Écris le programme de construction. 

NB :

$\bullet\ $La règle graduée sera utilisée pour tracer mais pas pour mesurer.

$\bullet\ $On pourra utiliser le repérage cartésien, une homothétie, le théorème de Thalès ou une des relations métriques dans un triangle rectangle : 

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et si $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ alors on a :

$AB\times AC=AH\times BC$ ; 

$AH^{2}=BH\times CH$ ; 

$AB^{2}=BH\times BC$ ;

$AC^{2}=CB\times CH$