Concours miss sciences 2nd s - 2015

Épreuve de mathématique 

Premiers partie 

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Items }&\text{Réponses proposées }\\ \hline &\text{On a :}\\ 1\text{ Soit }x\text{ et }y\text{ deux réels tels que}&a. 6<xy<-3\\ -3<x<-1\text{ et }2\leq y\leq 3&b -9\leq xy\leq -2\\ &c -9<xy<-2\\ &d -6\leq xy\leq -3\\ \hline 2.\text{ Soit le tableau de variation }&\text{On a :}\\ \text{c-dessous d'une fonction }f\text{définie }&a \text{Les réels }-4\text{ et }-1\text{ sont des extrémums de }f.\\ \text{définie dans }[-2\ ;\ 20]&b \text{Les réels }-8\text{ et }-4\text{sont les extrémums de }f.\\ \begin{array}{|c|rcccccccl|} \hline x&-2&&0&&2&&12&&20\\ \hline &-4&\searrow&&\nearrow&1&\searrow&&\nearrow&-1\\ f(x)&&&-8&&&&-4&&\\ \hline \end{array}&c \text{Les réels }-8\text{ et }1\text{ sont les extrémums de }f\\ &d \text{ Les réels }-4\text{ et }1\text{ sont extrémums de }f\\ \hline 3.\text{ On donne la figure la figure ci-dessous }&\text{ Le produit scalaire }\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\text{ est égal à :}\\ \text{ où }ABC\text{ est un triangle tel que :}& a\quad 14\\ AB=3\,cm\ ;\ AC=7\,cm\ ;\ AK=2\,cm & \quad b. 21\\ &\quad c 0\\ &\quad d 35\\ \hline &\text{ On a :}\\ 4\text{ Soit }x\text { un réel appartement à }& a. \sin(-x)=a\\ ]-\pi\;,\pi[\text{ tel que :}&b \sin(\pi-x)=-b\\ \sin(x)=a\text{ et }\cos(x)=b& c \sin(\pi+x)=b\\ &d \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=b\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Dans le plan est }\\ \text{ muni d'un repère }&\text{On a :}\\ 5.\text{ orthonormé, on considère les droites }(D)\text{ et }&a. \text{ Les droites sont parallèles }\\ \left(D'\right)\text{ d'équations respectives :}\\b \text{ Les droites se coupent au points de }\\ &\text{ coordonnées }(-5\ ;\ 5)\\ x-5=0\text{ et }y-5=0&c\text{ Les droites se coupent au point de }\\&\text{ coordonnées }(-5\ ;\ -5).\\ & d\text{ les droites sont perpendiculaire}\\ \hline 6. \text{La figure ci-dessous est un cube. }&\text{ Lintersection des plans }(ABE)\text{ et }(BDH)\text{ est :}\\ &a.text{ Les points }B\text{ et }F\\ &b\text{ les points }E\text{ et }F\\ &c\text{ La droite }(EF)\\ &d\text{ La droite }(BF)\\ \hline &\text{L'ensemble des solutions dans }\mathbb{R}\text{ est :}\\ 7\text{ On donne l'inéquation ci-dessous :}&a \left]-\infty\ ;\ \dfrac{-1}{2}\right[\cup\left[0\ ;\ 1\right[\\ \dfrac{5x}{x-1}\leq\dfrac{10x}{2x+1}&b \left]-\infty\ ;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[0\ ;\ 1\right]\\ &c\left]\dfrac{-1}{2}\ ;\ 1\right[\\ &d\left]-\infty\dfrac{-1}{2}\right[\cup\left]\dfrac{1}{2}\ ;\ 0\right]\\ \hline &\text{ On a :}\\ 8. ABCD\text{ est un carré de centre }G.&a\text{ Le triangle }BGL\text{ est l'image du triangle }GKD\\ &\text{ par la translation de vecteur }\overrightarrow{BG}\\ \text{ Les points }I\;,J\;,K\;,\text{ et }L\text{ sont les milieux}&b\text{ Le triangle }BGL\text{ est l'image du triangle }GKD\\ &\text{ par la symétrie orthogonale d'axe }(AC)\\ \text{ respectifs de }[AB]\;,[AD]\;,[CD]\;,[BC]\;,[AC]&c\text{ Le triangle }BGL\text{ est l'image du triangle }GKD\\ &\text{par la symétrie centrale de centre }G\\ &d \text{Le triangle }BGL\text{ est l'image du trianle }GKD \\
&\text{ par la rotation de centre }G\text{ et d'angle }\dfrac{\pi}{2}\\ \hline \end{array}$

6. 

8. 

Partie 2

Exercice 1

$A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés du plan. 

Soit $K$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le barycentre du système ${(A\;,1)\ ;\ (C\;,2)}.$

La droite $(KJ)$ coupe la droite $(BC)$ en $M.$

A l'aide d'un repère convenablement choisi, déterminer par le calcul, les coefficients des points $B$ et $C$ pour que $M$ soit le barycentre des points $B$ et $C.$

Exercice 2 

On donne $x$ et $y$ deux réels

1. Calculer $(2x-y)^{2}$

2. Prouver que, pour tous réels $5x^{2}+y^{2}+4\geq 4x+4xy$

3. Pour quelles valeurs de $x$ et $y$, l'égalité a-t-elle lieu ?