Concours miss sciences - 2nd S 2018

Première partie 

Chaque candidate répondra sur la feuille de réponses.

Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse.

$\begin{array}{|c|c|} \hline &a. 0\leq a^{2}<9.\\ 1\text{ Soit a un réel tel que :}&b. 9<a^{2}\leq 4.\\ -3<a\leq 2&c. 0\leq a^{2}\leq 4.\\ \text{On a :}\\&d. 4\leq a^{2}<9\\ \hline &a. M\text{ barycentre de }{(A\;,2)\ ;\ (B\;,-1)}\\ 2. \text{Soient }A\;,B\text{ et }M\text{trois points }&b. A\text{ barycentre d }{(M\;,1)\ ;\ (B\;,-2)}\\ \text{ tels que :}\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BA.}&c. B\text{ barycentre de }{(A\;,-3)\ ;\ (M\;,1)}\\ \text{ On a :}&d. M\text{ barycentre de }{(A\;,1)\ ;\ (B\;,2)}\\ \hline 4. \text{ La fonction }f\text{ définie par }&a. \mathbb{R}-{-1\ ;\ 1}.\\ f(x)=\sqrt{\dfrac{-x}{x^{2}+1}}&b. ]-\infty\ ;\ 0]\\ \text{a pour ensemble }&c. ]-\infty\ ;\ -1[\cup]-1\ ;\ 0]\\ \text{de définition :}&d. \mathbb{R}\\ \hline 5. \text{ Soit le tableau de variations ci-dessous }&a.\text{ comporte une seule erreur }\\ \text{ d’une fonction }f\text{ définie sur}[-15\ ;\ 6]&b.\text{ ne comporte aucune erreur.}\\ \begin{array}{|c|rcccccccl|} \hline x&-15&&-7&-9&&6\\ \hline &&&-2&&&0\\ f(x)&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ &-1&&&-3&&\\ \hline \end{array}&c \text{ comporte deux erreurs}\\ \text{ Ce tableau de variations :}&d. \text{ omporte trois erreurs. }\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|} \hline 6. \text{On donne la droite }\left(D_{1}\right)&a.\text{ sont sécantes}\\ \text{d'équation }x+3y-1=0&b. \text{sont strictement parallèles.}\\ \text{et la droite }\left(D_{2}\right)\text{d'équation :}&c. \text{sont confondues }\\ 3x+y+1=0\text{ Ces deux droites :}&d.\text{sont perpendiculaires.}\\ \hline &a.\cos(\alpha)<0\ ;\ \sin(\alpha)<0.\\ 7.\text{On donne un angle }\alpha\text{ dont la mesure}&b. \cos(\alpha)>0\ ;\ \sin(\alpha)<0\\ \text{principale est }\dfrac{3\pi}{5}\text{ On a :}&\cos(\alpha)<0\ ;\ \sin(\alpha)>0\\ &d.\cos(\alpha)>0\ ;\ \sin(\alpha)>0\\ \hline 8.\text{Sur la figure ci-contre,}BACDE&a. \dfrac{2\pi}{5}\,cm\\ \text{est un pentagone régulier inscrit dans le cercle }&b.4\pi\,cm\\ (T)\text{de centre }G\text{et de rayon }10\,cm&c.12.56\,cm\\ \text{a longueur de l’arc AB est :}&d. 1.256\,cm.\\ \hline 9.\text{Sur la figure ci-contre,} BAK &a. -2\\ \text{ est un triangle rectangle }&\\ \text{isocèle en }A.\text{ Les points }G\text{ et }O&b\dfrac{-1}{2}\\ \text{ sont les milieux respectifs de }[AK]\text{ et }[BK]&\\.Les droites (OA)\text{ et }(BG) \text{ se coupent en }H&c-3\\ \text{Le rapport de l’homothétie de centre }H&\\ \text{ qui transforme }O \text{ en }A\text{ est }&.d\dfrac{-1}{3}:\\ \hline &a. 1\text{ est un zéro du polynôme.}\\ 10.\text{ Soit le polynôme }P\text{ défini par }&b. 0\text{est un zéro du polynôme.}\\ P(x)=-3x^{3}+2x^{2}-x-6&c. -1\text{ est un zéro du polynôme. }\\ \text{On a :}&d.-1\ ;\ 0\text{ et }1\text{sont des zéros du polynôme}\\ \hline \end{array}$
Exercice 2
1. Recopie et complète les phrases ci-dessous :

a. Le degré du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme de degré $1$ est 

b. Le degré du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme de degré $2$ est 

2. Résous dans $\mathbb{R}$ le système d'équations suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&-2\\ 2x+y&=&8 \end{array}\right.$

Adama, une élève d'une classe de seconde $S$, cherche à déterminer le reste de la division euclidienne d'un polynôme $P(x)$ par $(x-1)(x-2)$

Elle sait que :

$\bullet\ $le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x-1$ est $-2$,

$\bullet\ $le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x-2$ est $8$,

$\bullet\ $le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)(x-2)$ est de la forme $ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.

Aide-la à déterminer le reste de la division de $P(x)$ par $(x-1)(x-2)$ en justifiant chaque étape de la rédaction.

4. Le degré du polynôme $P$ peut-il être égal à $2$ ? Justifie ta réponse. 
Exercice 3
$MNP$ est un triangle rectangle en $M$ tel que $MN=5.7\,cm$ et $MP=8.6\,cm$

Soit $K$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(NP)$, $S$ et $T$ les milieux respectifs des segments $[MN]$ et $[MP].$

1. Faire la figure. 

2. Les droites $(KS)$ et $(KT)$ sont-elles perpendiculaires ?

 Justifier la réponse.