Pré-sélection dans les inspections d'académie concours miss sciences 2nd s - mai 2022

 Épreuve mathématique 

Exercice 1 

Pour chaque énoncé, quatre réponses $A$, $B$, $C$et D$D$ sont proposées dont une seule est exacte.

Pour répondre tu écris sur ta copie le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la réponse choisie.

Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse.

Chaque réponse juste est notée $1$ point.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline N°&\text{Enoncés }&\text{Réponses }\\ \hline &\text{L'ensemble solution de l'équation }&A\ :\ {}\\ 1&(1-\sqrt{2}x^{2}-2\sqrt{2x}-2-2\sqrt{2}=0\text{ est :}&B\ :\ {\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}\;,\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2}}\\ &&C\ :\ {-2-\sqrt{2}}\\ &&D\ :\ {-2+\sqrt{2}}\\ \hline &\text{Soit }A\;,B\text{ et }C\text{ tels que }\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}&A\ :\ \dfrac{3}{2}\\ 2&\text{Dans le repère }\left(C\;,\overrightarrow{CA}\right)&B\ :\ \dfrac{2}{3}\\ &\text{L'abscisse du point }B\text{est :}&C\ :\ \dfrac{1}{3}\\ &&D\ :\ \dfrac{-1}{3}\\ \hline &\text{Soit }EFGH\text{ un parallélogramme }&A\ :\ {(E\;,1)\ ;\ (F\;,1)\ ;\ (H\ ;\ 1)}\\ 3&\text{ Le point }G\text{ est barycentre du système :}&B\ :\ {(E\;,-1)\ ;\ (F\;,1)\ ;\ (H\ ;\ -1)}\\ &&C\ :\ {(E\;,-\sqrt{3}\ ;\ (F\;,\sqrt{3})\ ;\ (H\ ;\ H\sqrt{3})}\\ &&D\ :\ {(E\;,-1)\ ;\ (F\;,-1)\ ;\ (H\ ;\ 1)}\\ \hline &\text{Dans }\mathbb{R}\;,\text{L'ensemble des solutions de }&A\ :\ \emptyset\\ 5&\text{l'équation }|x+\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\sqrt{2}\text{ est :}&B\ :\ {2\left(-\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\ ;\ -2\sqrt{2}}\\ &&C\ :\ {2\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\ ;\ 2\sqrt{2}}\\ &&D\ :\ {-2\sqrt{2}}\\ \hline &\text{Dans }\mathbb{R}\;,\text{l'ensemble des solutions }&A\ :\ {-\sqrt{3}\ ;\ \sqrt{3}\ ;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{-\sqrt{2}}{2}}\\ 6&\text{de l'équation }\dfrac{3}{x^{4}}-\dfrac{7}{x^{2}}+2=0&B\ :\ {\sqrt{3}\ ;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}}\\ &&C\ :\ {\dfrac{-1}{4}\ ;\ \dfrac{1}{4}\ ;\ 9\ ;\ -9}\\ &&D\ :\ \emptyset\\ \hline &\text{L'expression }&A\ :\ -5+7\sqrt{3}\\ 7&\sqrt{4(2-\sqrt{3})^{2}}-3\sqrt{9(1-\sqrt{3})^{2}}&B\ :\ -5-11\sqrt{3}\\ &\text{est égale à :}&C\ :\ -5-7\sqrt{3}\\ &&D\ :\ 13-11\sqrt{3}\\ \hline &&A\ :\ 0.001\text{près}\\ 8&\text{Soit }x{un réel tel que :}1.238<x<1.251&B\ :\ 0.01\text{près }\\ &1.24\text{est une valeur approchée de }x\text{à :}&C\ :\ 0.1\text{prés}\\ &&D\ :\ 0.002\text{près}\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

Soit une droite $(D)$, $A$, $B$ deux points distincts de $(D)$ ; $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $0<a<b$

1. Montrer qu'il existe deux points $E$ et $F$ de la droite $(D)$ tels que $E$ est barycentre des points $(A\;,a)$ et $B\;,b)$ et $F$ le barycentre des points $(A\;,a)$ et $(B\;,-b).$

2. La droite $(D)$ est munie du repère $\left(A\;,\overrightarrow{AB}\right)$

a. Calculer en fonction de $a$ et $b$ l'abscisse de chacun des points $E$ et $F.$

b. En déduire que

$\dfrac{\overline{EA}}{\overline{EB}}=-\dfrac{\overline{FA}}{\overline{FB}}$

4. Démontrer que $A$ est barycentre des points $(E\;,a+b)\;,(F\;,a-b)$

5. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

$\dfrac{1}{a+b}\left|a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\right|=\dfrac{1}{b-a}\left|a\overrightarrow{MA}-b\overrightarrow{MB}\right|$

Exercice 3 

Sur la figure ci-dessous $ABCD$ représente un jardin rectangulaire tel que $AB=20\,m$ et $BC=10\,m$

Le propriétaire M Diagne veut aménager une bande de largeur $x$ mètres autour du rectangle comme indiqué en grisé sur cette figure.

M Diagne veut que l'aire de cette bande soit inférieure à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD.$

Déterminer pour M Diagne les valeurs de $x$