Concours  miss science - 2021

Exercice 1

Question 1 :

Simplifier en mettant sous forme $2^{m}\times 3^{n}\times 7^{p}$, ou $m$, $n$ et $p$ sont des entiers : $$A=\dfrac{14\times 3^{-2}\times 0.5\times \left(2^{-1}\right)^{-2}\times 7^{3}}{\left(7^{2}\right)^{-2}\times\left(2^{3}\times 7\right)^{-3}}$$

Question 2 :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|-x+2|\geq 3$ 

Question 3 : 

Montrer l'égalité : $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}+2=\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{xy}\right)^{2}\;,x\neq 0\text{ et }y\neq 0$

Question 4 : 

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{\left(-x^{2}+x-1\right)\left(x^{2}+x+\dfrac{1}{4}\right)}{x^{2}+4x+3}<0$

Question 5 : 

Calculer $\left(4\sqrt{3}-7\right)^{2021}\left(4\sqrt{3}+7\right)^{2021}$

Question 6 : 

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(D)$ passant par le point $A(1\ ;\ 2)$ et qui à pour vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -1\\ \mathbb{R} \end{pmatrix}$ dans repère cartésien $(O\;,I\;,J)$ 

Question 7 : 

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés et $m$ un paramètre réel.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ tels que le barycentre $G_{m}$ du système $\left(A\;,m\right)\,;\left(B\;,m^{2}+1\right)\;,(C\;,-5)$ existe puis construis $G_{2}$

Question 8 : 

Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$, on a : $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$

et $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ Montre que : $3+\tan^{2}x=2+\dfrac{1}{cos^{2}x}$

Exercice 2 :

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs et distincts.

1. Montrer que $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$

2. Montrer $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{a+b}$