Concours miss Science Prince Sciences - 2024

Première partie 

Chaque candidat portera sur sa copie le numéro de la question suivie de la lettre de la réponse choisie.

Aucun point ne sera enlevé pour réponse fausse ou une absence de réponse.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\text{ Questions }&\text{Réponses }\\ \hline 1.\text{Soient }x\text{ et }y\text{ deux réels non nuls de signe }&A&\text{ Ext vraie seulement si }x=y\\ \hline \text{contraires. Alors l'égalité }&B&\text{ Est vraie si }x=\text{ et }y=-1\\ |x+y|=|x|+|y|&C&\text{ Est vraie }\\ \hline &D&\text{ Est fausse}\\ \hline 2.\text{Soit }n\text{ entier naturel non. Alors }&a&1\\\hline\cos\left(n\pi\right)\text{ est égal à : }&b&-1\\ \hline &c&-n\\\hline &d&(-1)^{n}\\\hline 3.\text{Soient }x\text{ et }y\text{deux réels tels que :}&a&0\leq 3x+y\leq 25\\ \hline -2\leq x\leq 5\text{ et }5\leq y\leq 10\text{ alors :}&b&\dfrac{2}{5}\leq\dfrac{x}{y}\leq \dfrac{1}{2}\\ \hline &c&-7\leq x-y\leq 5\\ \hline &d&-20\leq xy\leq 50\\ \hline 4. A\text{ Le couple des coordonnées de }I\text{ dans }&a&5\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{O}\\ \hline \text{le repère }\left(A\;, \overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}\right)\text{ est }(5\ ;\ -1)&b&\text{A est le barycentre du système }\\ &&(B\;,-5)\ ;\ (C\;,1)\ ;\ (1\;,-1)\\ \hline \text{alors on a}&c&\overrightarrow{5IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{O}\\ &d&I\text{est le barycentre du système }\\ &&(B\;,-5)\ ;\ (C\;,1)\ ;\ (A3)\\ \hline 5. ABC\text{ est triangle de dimension }BA&a&8\,cm^{2}\\ 3\,cm\;,AC=4\,cm\text{ et }BC=5\,cm&b&6\,cm^{2}\\ \text{L'aire du triangle }ABC\text{ est égale à :}&c&7.5\,cm^{2}\\ &d&12\,cm^{2}\\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 6. A\text{ et }B\text{sont deux points d'un cercle de }&a&AE^{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\ \hline \text{Centre }O\text{du plan ; le point }E\text{tel que :}&b&\dfrac{-1}{2}\\ \hline \overrightarrow{OV}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OE}&c&-1\\ \hline \text{Le produit scalaire }\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OE}\text{est égale à }&d&0.5\\ \hline 7. x\text{est un nombre réel vérifiant :}&a&\left[0\ ;\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right[\\ \hline \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&\geq& 0\\ x^{2}&\leq& 1 \end{array}\right.\text{ ou } \left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-3&\geq&0\\ x^{2}-x-1&<&0\end{array}\right. &b&\left]-\inf\ ;\ \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right[\cup\left]1\ ;\ +\infty\right[\\ \text{Alors l'ensemble des }x\text{possibles est :}&c&[0\ ;\ 1[\\ &d&\left]-\infty\ ;\ 0\right[\cup\left]-\infty\ ;\ 0\right[\cup\left]1\ ;\ +\infty\right[\\ \hline 8. \text{On considère le nombre réel }&a&-3\\ X=\sqrt{7-2\sqrt{6}}-\sqrt{7+2\sqrt{6}}&b&2\\ X\text{ est égale à}&c&4\\ &d&-4\\ \hline 9.\text{Soit }f\text{ une fonction vérifiant :}&a&0\\ \forall x\neq 0\;,f(x)+f\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=4x^{3}-x+3&b&2\\ \text{Alors }f(-1)=&c&-2\\ &d&-3\\ \hline 10.\text{ Dans la figure ci-contre }M\text{ appartient au }&a&\dfrac{\pi}{6}\\ \text{cercle inscrit dans le carré direct }ABCD&b&-\dfrac{\pi}{6}\\ I\text{ et }J\text{milieux respectifs des }&c&-\dfrac{\pi}{4}\\ \text{segments }[AD]\text{ et }[DC]&d&\dfrac{\pi}{4}\\ \text{une mesure en radian de l'angle }&&\\ \text{orienté }\left(\overrightarrow{MI}\ ;\ \overrightarrow{MJ}\right)&&\\ \end{array}$

Exercice 1

1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls du plan.

a. Montrer que le polynôme $P(x)=\left|\vec{v}\right|^{2}x^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{u}x+\left|\vec{u}\right|^{2}$ est positif ou nul ; 

b. Déterminer son discriminant $\delta$ ; 

2. En déduire l'inégalité de Schwarz :

$\left|\vec{u}\cdot\vec{v}\right|\leq|\left|\vec{u}\right|\times\left|\vec{v}\right|$

Considérons le plan muni d'un repère orthonormé.

Soit $\overrightarrow{W}\begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{Z}\begin{pmatrix} 5\\ 4 \end{pmatrix}$ deux vecteurs du plan.

Vérifier l'inégalité de Schwarz avec $\overrightarrow{W}$ et $\overrightarrow{Z}$

Exercice 2

On lance cinq des numérotés chacun de $1$ à $6.$

Trois des indiquent le même nombres et les deux autres indiquent un autre nombre.

Sachant que la somme totale des nombres apparus sur les cinq dés est $22$, quels sont les deux nombre affichés sur dés ?

On donnera toutes  les possibilités