Concours miss science - 2nd S 2024

Épreuve mathématique

Exercice 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.

Pour répondre, écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline N^{\circ}&\text{Enoncés }&\text{Réponses }\\ \hline &\text{La valeur de }m\text{ pour laquelle le système }&A : 18\\ 1&\text{ ci-dessous admet une infinité de couples }&B : 5\\ &\text{ solutions est :}\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&10\\ -2x-2y&=&m \end{array}\right.&C : -20\\ \hline &\text{L'équation }-x^{4}-1000x^{2}-10^{3}=0&A : S={1\ ;\ 10^{3}}\\ 2&\text{admet pour ensemble }&B : S=(0\ ;\ -17)\\ &\text{de solution dans }\mathbb{R}&C : S={}\\ \hline &\text{On considère dans le plan muni d'une base }&A : (3\ ;\ 3)\\ 3&\left(\vec{i}\ ;\ \vec{J}\right)\;,\text{ les vecteurs }&B :(-4\ ;\ 3)\\ &\vec{u}\left(\dfrac{2}{3}\ ;\ 3\right)\;,\vec{v}\left(-\dfrac{1}{4}\ ;\ -2\right)&C :(3\ ;\ -4)\\ &\text{et }\overrightarrow{W}(3\ ;\ 17)\text{ tel que }x\vec{u}+y\vec{v}=\overrightarrow{w}&\\ &\text{ Le couple }(x\ ;\ y)\text{est égal à :}& \\ \hline &\text{Le plan est muni d'un repère orthonormal }&A\ :\ -9x+10y-14=0\\ 4&\left(0\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).\text{ On considère deux points }&B\ :\ x=\dfrac{2}{2}\\ &A\left(\dfrac{2}{5}\ ;\ 2\right)\text{ et }B\left(-1\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)&C\ :\ -3x+5y-8=0\\ &\text{Une équation cartiésienne de la droite }(AB)\text{ est }:&\\ \hline &\text{Si }1.5<-2x<2.3\text{ et }&A\ :\ 1.28<y-x<2.42\\ 5&0.52<y-0.01<1.26&B\ :\ 7<y-x<8\\ &\text{alors }&C\ :\ -9<y-x<-8\\ \hline &\text{Si }x<0\text{ alors l'expression }&A\ :\ -2x\\ 6&\dfrac{\sqrt{12x^{2}}+2x}{1-\sqrt{3}}\text{ est égale à}&B\ :\ 8x+2x\sqrt{3}\\ &&C\ :\ 2x\\ \hline &\text{Soient }A\;,B\text{ et }C\text{ trois points du plan}&A\ :\ \overrightarrow{AB}\\ 7&\text{Si }\overrightarrow{U} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}\text{alors }&B\ :\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}\\ &&C\ :\ \overrightarrow{O}\\ \hline &\text{Si }x\text{et }y\text{ sont les solutions de l'équation }&A\ :\ 2\sqrt{2}\\ 8&t^{2}-2t\sqrt{2}+1=0\text{ alors la valeur de }&B\ :\ 1-2\sqrt{2}\\ &x(1-xy)+y(1-xy)\text{est }\ :\ &C\ :\ 0 \\ \hline \end{array}$

Exercice 2 :

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité $2\,cm$

On considère les points $A(0\ ;\ -1)$, $(1\ ;\ 0)$ et $C\left(\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right)$, $D\left(-\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right)$ et $E\left(-1\ ;\ 0\right)$

Former un système de cinq inéquations à deux inconnues dont l'ensemble des solutions est l'ensemble des couples de coordonnées des points situés à l'intérieur du pentagone $ABCDE.$

Exercice 3

L'unité de longueur est le $cm$ et $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=5\,cm$ et $AD=3\,cm$

On considère les points $E$, $F$ et $G$ tels que :

$\bullet\ \overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

$\bullet\ F$ est le barycentre du système ${(A\;,5)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,-4)}$

$\bullet\ DBCG$ est un parallélogramme

1. Faire une figure

2.a. Montrer que $D$ est le milieu de $[AG]$

b. Les points $H$ et $I$ sont respectivement milieux de $[BD]$ et de $[CD]$

Montrer que $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{HI}$

c. Montrer que $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{BD}$

3. Exprimer $\overrightarrow{AF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$

4. Montrer que $A$ est le barycentre des points pondérés $(F\ ;\ 1)$ et $(E\ ;\ 2)$