Concours miss science 2023 

Épreuve de mathématique

Exercice 1

Question 1 :

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $|x+2|\leq 1$ et $0\leq y\leq 2$

Encadrer $x-y$ et $(y+1)$

Question 2 :

Le plan est rapporté à un repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Soit la droite $(D)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&2-t\quad\ ;\ t\in\mathbb{R}\\ y&=&-1+3t \end{array}\right.$

Déterminer une équation cartésienne de la droite $\left(D'\right)$ parallèle à $(D)$ et passant par le point $A(1\ ;\ -3)$ 

Question 3 :

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $a+b=1$ et $a^{2}+b^{2}=2$

Trouver la valeur de $a^{5}+b^{5}$

Question 4 :

Soit $ABC$ un triangle de centre de gravité $G.$

$I$ est le milieu de $[BC].$

Déterminer et construire l'ensemble $\Delta$ des points $M$ du plan tels que.

$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$

Exercice 2:

Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $|1-2x|=2x-1$

b. $2x^{2}-2\sqrt{2}x+1\leq 0$

c. $\dfrac{x^{2}-5x+6}{4-x^{2}}=0$

d. $x^{3}-333^{3}=444^{3}+555^{3}$

Exercice 3

Soit l'équation $\left(E_{m}\right)\ :\ (m+1)x^{2}-(2m-3)x+m-4=0$ où $m$ est un paramètre réel.

1. Discuter, suivant les valeurs de $m$, le nombre de solutions de l'équation $\left(E_{m}\right)$

2. Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $\left(E_{m}\right)$ à t-elle deux solutions de signe contraires ?

Exercice 4

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A.$

On sait que : son périmètre est $19.$

$BC=8$ et $AB> AC$

Déterminer $AB$ et $AC$

Exercice 5

Soit $ABC$ un triangle.

$I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AC]$ et $[BC]$ 

Soit $m$ un réel.

1. Déterminer l'ensemble $\Omega$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre $C_{m}$ du système ${(A\;,m)\ ;\ (B\;,2)\ ;\ (C\;,m)}$ existe.

2. Exprimer alors $\overrightarrow{IG_{M}}$ en fonction de $m$ et $\overrightarrow{IB}$

3. Déterminer l'ensemble $(E)$ décrit par $C_{m}$ lorsque $m$ décrit $\Omega$