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Épreuve de présélection miss science - 2nd S 2024

1. On pose :

$Z=\dfrac{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\times\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{3}-b^{3}}$ et

$T=\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a^{-2}bc\right)^{3}\times\left(\dfrac{3}{2}a^{3}c\right)^{2}\div\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{6}ab\right)^{-3}$

Simplifier les expressions $Z$ et $T$ lorsqu'elles sont définies.

2. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :

$1\leq\sqrt{a-3}\leq 2$ et $-3\leq b\leq \dfrac{1}{2}$

a. Montre que $4\leq a\leq 7$

b. En déduire un encadrement du nombre $\dfrac{3}{a}+b^{2}$

3. Soient $c$ et $d$ deux nombres réel tels que $c< d$ et $x$ un réel inconnu.

Montre que : Si $|x-\dfrac{c+d}{2}|<\dfrac{d-c}{2}$ alors $x\in]c\ ;\ 4[$

4. On considère l'équation $(E)\ :\ m^{2}x^{2}-2x+1=0$ où $m$ est un réel.

a. Donner une condition nécessaire pour que $(E)$ soit du seconde degré

b. On suppose pour la suite que $m$ est différent de zéro.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E)$

5.a Déterminer l'ensemble $S_{1}$ des solutions de l'inéquation :

$(2x-3)^{2}-(2x-3)\left(-x^{2}-x+1\right)\leq 0$ et $S_{2}$ l'ensemble des solutions de l'inéquation : $|-2+|x-3||<\dfrac{2}{3}$

b. Déterminer $S_{1}\cup S_{2}$ puis $S_{1}\cap S_{2}$

On pose $a_{n}=2^{n}$ pour tout entier naturel $n$

1. montre que $a_{n}=2^{n+1}-2^{n}$ pour tout entier $n.$

2. Montre que $a_{n}+a_{n+1}=2^{n+2}-2^{2}$ pour tour entier $n$

3. Calculer les sommes $S_{30}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{29}+a_{30}$ et $S_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}$

Soit $ABC$ un triangle, $H$ un point quelconque, $R$ et $T$ deux points tels que :

$\overrightarrow{AR}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{HT}=\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}-3\overrightarrow{HC}$

1. Montre que : $\overrightarrow{HR}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HB}\right)$

2. Montre que les droites $(HT)$ et $(RC)$ sont parallèles.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés et $m$ un réel quelconque.

1. On considère le point $G_{m}$ barycentre de ${\left(A\;,m^{2}-3\right)\ ;\ (B\;,m)\ ;\ (C\;,-m)}$

Déterminer l'ensemble $E_{m}$ des valeurs de $m$ pour que le barycentre $G_{m}$ existe.

2. Montre que pour tout réel $m$ de $E_{m}$, on a l'égalité : $\overrightarrow{AG}_{m}=\dfrac{-m}{m^{2}-3}\overrightarrow{BC}$

3. Soit $I$ le milieu de $[BC]$

Représenté sur une figure les points $A$, $B$ et $C$ puis placer les points $G_{2}$ et $G_{-1}.$

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