Concours miss sciences - 2nd S 2024

Épreuve de mathématiques 

Exercice 1:

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.

Pour répondre, écrire le numéro de l'énoncé suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{N°}&\text{ Enoncés }&\text{Réponses}\\ \hline1&\text{La veleur de }m\text{ pour laquelle le systme }&A\ :\ 18\\ &\text{ci-dessous admet une infinité }&B\ :\ 5\\ &\text{de couples solutions est :}&C\ :\ -20\\ &\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&10\\ -2x-2y&=&m \end{array}\right.&\\ \hline 2&\text{L'équation }-x^{4}-1000\,x^{2}-10^{3}=0&A\ :\ S={1\ ;\ 10^{3}}\\ &\text{admet pour ensemble de solution dans }\mathbb{R}&B\ :\ S={0\ ;\ -17}\\ &&C\ :\ S={}\\ \hline 3&\text{On considère dans le plan muni d'une base }&A\ :\ (3\ ;\ 3)\\ &\left(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)\;,\text{ les vecteurs }\vec{u}\left(\dfrac{2}{3}\ ;\ 3\right)\;,\vec{v}\left(-\dfrac{1}{4}\ ;\ -2\right)\text{ et }\overrightarrow{w}\left(3\ ;\ 17\right)&B\ :\ (-4\ ;\ 3)\\&\text{tel que }x\vec{u}+y\vec{v}=\overrightarrow{w}.\text{ Le couple }(x\ ;\ y)\text{ est égale à :}&C\ :\ (3\ ;\ -4)\\ \hline 4&\text{Le plan est muni d'un repère orthonormal }&A\ :\ 9-x+10y-14=0\\ &\left(O\ ; \ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)\text{ On considère deux points }&B\ :\ x=\dfrac{2}{3}\\ &A\left(\dfrac{2}{3}\ ;\ 2\right)\text{ et }B\left({-1\ ;\ \dfrac{1}{2}}\right)&C\ :\ -3x+5y-8=0\\ &\text{Une équation cartésienne de la droite }(AB)\text{ est}\\ \hline 5&\text{Si }1.5<-2x<2.3&A\ :\ 1.28<y-x<2.42\\ &\text{et }0.52<y-0.01<1.26&B\ :\ 7<y-x<8\\ &\text{alors :  }&C\ :\ -9<y-x<-8\\ \hline 6&\text{Si }x<0\text{alors l'expression }&A\ :\ -2x\\ &\dfrac{\sqrt{12x^{2}}+2x}{1-\sqrt{3}}&B\ :\ 8x+2x\sqrt{3}\\ &\text{est égale à}&C\ :\ 2x\\ \hline 7&\text{Soient }A\;,B\text{ et }C&A\ :\ \overrightarrow{AB}\\ &\text{trois points du plan }&B\ :\ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}\\ &\text{Si }\overrightarrow{U}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}\text{ alors }&C\ :\ \overrightarrow{0}\\ \hline 8&\text{Si }x\text{ et }y\text{sont les solutions de l'équation}&A\ : \ 2\sqrt{2}\\ &t^{2}-2t\sqrt{2}+1=0\text{ alors la valeur de }&B\ :\ 1-2\sqrt{2}\\ &x(1-xy)+y(1-xy)\text{est :}&C\ :\ 0\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthogonal $\left(O\;,\vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ d'unité $2\,cm$

On considère les points $A(0\ ;\ -1)$, $B(1\ ;\ 0)$ et $C\left(\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right)$, $D\left(-\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right)$ et $E(-1\ ;\ 0)$

Former un système de cinq inéquations à deux inconnues dont dont l'ensemble des solutions est l'ensemble des couples de coordonnées des points situés à l'intérieur du pentagone $ABCDE$

Exercice 3

L'unité de longueur est le $cm$ et $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=5\,cm$ et $AD=3\,cm$

On considère les points $E$, $F$ et $G$ tels que :

$\bullet\ \overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

$\bullet\ F$ est le barycentre du système ${(A\;,5)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,-4)}$

$DBCG$ est un parallélogramme.

1. Faire une figure.

2.a. Montre que $D$ est le milieu de $[AG]$

b. Les points $H$ et $I$ sont respectivement milieux $[BD]$ et de $[CD]$

Montrer que $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BD}$

3. Exprimer $\overrightarrow{AF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$

4. Montre que $A$ est le barycentre des points pondérés $(F\ ;\ 1)$ et $(E\ ;\ 2)$