Phase régionale du concours miss sciences édition - 2024

Exercice 1

Pour chaque énoncé, trois réponses sont proposées $a$, $b$ et $c$ dont une seule est exacte.

Pour répondre, tu choisiras le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie. 

Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse. 

Chaque bonne réponse correspond

$\begin{array}{|c|c|} \hline\text{Enoncés }&&\text{Réponses }\\ \hline 1.\text{ Soit }x\text{un réel tel que que :}-3<x\leq 4&a&9<x^{2}\leq 16\\ \text{L'ensemble de }x^{2}\text{est :}&b&0\leq x^{2}<16\\ &c&0\leq x^{2}\leq 16\\ \hline 2.\text{ On considère la fonction numérique }f&a&\text{est un minumum}\\ \text{définie par }f(x)=(x-3)^{2}-2.\text{Le }&b&\text{ est un maximum }\\ \text {nombre réel }-2&c&\text{n'est ni minimum, ni maximum}\\ \hline 3.\text{ On considère dans un repère orthonormé }&a&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-1+2t\quad ( t\in\mathbb{R})\\ y&=&2-1t \end{array}\right.\\ \left(O\;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)\;,\text{ Les points }A(-1\ ;\ 2)\text{ et }B(3\ ;\ -4)&b&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&3+3t\quad(t\in\mathbb{R})\\ y&=&-4-2t \end{array}\right.\\ \text{Une représentation paramétrique de la droite }(AB)\text{ est :}&c&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&-1+8t\quad(t\in\mathbb{R})\\ y&=&2-18t \end{array}\right.\\ \hline 4.\text{ On considère la fonction numérique }&a&D_{f}=\left]-\infty\ ;\ 1\right]\cup\left]2\ ;\ +\infty\right[\\ \text{définie par :}f(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}}&b&D_{f}=\left]-\infty\ ;\ -1\right[\cup\left]2\ ;\ +\infty\right[\\ \text{Le domaine de définition de }f\text{ est égal à :}&c&D_{f}=\left]-\infty\ ;\ 1\right[\cup\left]1\ ;\ 2\right[\\ \hline 5\text{ On considère la fonction de la }&a&\text{paire }\\ \text{variable réelle définie par :}&b&\text{impaire}\\ f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}\text{La fonction }f\text{est :}&c&\text{ni paire, ni impaire}\\ \hline 6.\text{Soit la fonction numérique }f\text{définie par :}&a&D_{f}=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[\\ f(x)=\sqrt{4x^{2}-9}&b&D_{f}=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{3}{2}\right]\cup\left[3\ ;\ +\infty\right[\\ \text{Le domaine de définition de }f\text{ est égal à :}&c&D_{f}=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{3}{2}\right[\cup\left]\dfrac{3}{2}\ ;\ +\infty\right[\\ \hline 7.\text{ La solution dans }\mathbb{R}\text{ de l'inéquation :}&a&S=\emptyset\\ \left|x^{2}-9\right|>0&b&S=\mathbb{R}{-3\ ;\ 3}\\
&c&S={-3}\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

Partie A :

Soient $a$ ; $b$ ; $c$ et $d$ quatre réels non nuls tels que $b\neq d$ et $b\neq -d$

1. Montre que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}$

2. Montre que si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{b-d}$

3.Déduire des questions précédentes que : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}$

Partie B :

Soient $x$, $y$ et $z$ des réels tels que :

$\dfrac{x+y-2}{1}=\dfrac{-x+y+2}{2}=\dfrac{x-y+2}{3}$

1. Montre que : $\dfrac{x}{2}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{2x}{5}$

2. Soit $K=\dfrac{1265}{4}\left[\dfrac{x+y}{x}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}\right]$

Montre que : $K=2024$

Exercice 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

On considère les barycentres définie comme suit :

$M=\text{bar }{(A\ ;\ 3)\;,(D\ ;\ 2)}$ et $N=\text{bar }{(C\ ;\ 2)\;,(A\ ;\ 3)}$

Soient les points $R$, $S$ et $U$ tels que :

$\overrightarrow{BR}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{BC}\;,\overrightarrow{BS}=\dfrac{5}{7}\overrightarrow{BN}$ et $\overrightarrow{CU}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$

1. Montre que $S=\text{bar}{(B\ ;\ 2)\;,(N\ ;\ 5)}$

2. En déduire que $S=\text{bar}{(A\ ;\ 3)\;,(B\ ;\ 2)\;,(C\ ;\ 2)}$

3. On considère le repère $\left(A\ ;\ \overrightarrow{AD}\;,\overrightarrow{AB}\right)$

a. Déterminer les coordonnées des points $M$, $R$ et $S$ sont alignés.

4. On considère le point $T$ de la droite $(AB)$ tells que :

$\overrightarrow{AT}=x\overrightarrow{AB}$ avec $x\in[0\ ;\ 1]$

Déterminer $x$ pour que $S$, $T$ et $U$ soient alignés.