Correction de la composition du premier semestre - 1L
Exercice 1
Parti A :
On donne $P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+c$ avec $a$, $b$, $c\in\mathbb{R}$
1. Les réels $a$, $b$ et $c$ sont appelés les coefficients du polynôme.
2. Si $1$ est une racine de $P$ alors $P(1)=0$
$P(1)=2(1)^{3}+a(1)^{2}+b(1)+c=0$
$P(1)=2+a+b+c=0$ d'où $a+b+c=-2(1)$
3. $P(2)=2(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+c=-10$ et $P(-1)=2(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)+c=-10$
$16+4a+2b+c=-10$ et $-2+a-b+c=-10$
$4a+2b+c=-26$ et $a-b+c=-8$
4. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
a+b+c&=&-2\\ 4a+2b+c&=&-26\\ a-b+c&=&-8 \end{array}\right.$
$(1)-4\times\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b+c&=&-2\\ 4a+2b+c&=&-26 \end{array}\right.\quad \Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{rcl} -4a-4b-4c&=&8\\ 4a+2b+c&=&-26\\ -2b-3c&=&-18 \end{array}\right.$
$(2)-1\times\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b+c&=&-2\\ a-b+c&=&-8 \end{array}\right.\quad\Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{rcl} -a-b-c&=&2\\ a-b+c&=&-8\\ -2b&=&-6 \end{array}\right.$
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b+c&=&-2\\ -2b-3c&=&-18\\ -2b&=&-6 \end{array}\right.\quad\Rightarrow \left\lbrace\begin{array}{rcl} a&=&-9\\ c&=&4\text{ d'où }S=\left\lbrace(-9\ ;\ 3\ ;\ 4)\right\rbrace\\
b&=&3 \end{array}\right.$
Partie B
On considère le polynôme $P$ défini par : $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+3x+4$
1. Le degré de $P$ est : $\deg(P)=3$
2. Montrer que $1$ est une racine de $P$
$1$ est une racine de $P$ si $P(1)=0$
$P(x)=2(1)^{2}-9(1)^{2}+3(1)+4$
$P(1)=2-9+3+4=0$ d'où $1$ est une racine de $P$
3. Comme $1$ est une racine de $P$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x)$ avec $\deg(Q)\deg(P)=-1=3-1=2$ ainsi le degré de $Q$ est égale à $2$
4. Déterminons $Q$ par la méthode de horner
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &2&-9&3&4\\ \hline 1&&2&-7&-4\\ \hline &2&-7&-4&0\\ \hline\end{array}$
$D'$ où $Q(x)=2x^{2}-7x-4$
5. Déduisons $-$ en les autres racines de $P$
$Q(x)=0\Rightarrow 2x^{2}-7x-4=0$
$\Delta=(-7)^{2}-4(2)(-4)=49+32=81$
$x_{1}=\dfrac{7-9}{2(2)}=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$
et $x_{2}=\dfrac{7+9}{2(2)}=\dfrac{12}{4}=3$ D'où les autres racines de $P$ sont $-\dfrac{1}{2}$ et $3$
6. Montrons que la forme factorisée de $P$ est $P(x)=(x-1)(x-3)(2x+1)$
Comme $P$ admet trois racines alors $P(x)=2(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x-3)$
D'où $P(x)=(x-1)(x-3)(2x+1)$
7. Résolutions dans $\mathbb{R} p(x)=0$
$P(x)=0<\Rightarrow (x-1)(x-3)(2x+1)=0$
$x-1=0$ ou $x-3=0$ ou $2x+1=0$
$x=1$ ou $x=3$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$ ainsi $S=\left\lbrace 1\ ;\ 3\ ;\ -\dfrac{3}{2}\right\rbrace$
8. Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $P(x)\leq 0$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} x&-\infty\quad\quad&-\dfrac{1}{2}\quad\quad&1\quad\quad&3\quad\quad+\infty\\ \hline
x-1&-\quad\quad&-\quad\quad&+\quad\quad&+\quad\quad\\ \hline x-3&-\quad\quad&-\quad\quad&-\quad\quad&+\quad\quad\\
\hline 2x+1&-\quad\quad&+\quad\quad&+\quad\quad&+\quad\quad\\ \hline P&-\quad\quad&+\quad\quad&-\quad\quad&+\quad\quad\\ \hline \end{array}$
$S=\left]-\infty\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right]\cup [1\ ;\ 3]
$
9. Résolvons dans $\mathbb{R}$ : $2(x+5)^{3}-9(x+5)^{2}+3(x+5)+4=0$
$x+5=1$ ou $x+5=3$ ou $x+5=-\dfrac{1}{2}$
$x=-4$ ou $x=-2$ ou $x=-\dfrac{11}{2}$ d'où $S=\left\lbrace -4\ ;\ -2\ ;\ -\dfrac{11}{2}\right\rbrace$
Exercice 2
1. Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
a. $f(x)=x^{3}+3x^{2}-2$ $f$ étant une fonction polynôme donc elle est définie sur $\mathbb{R}\;,D_{f}=\mathbb{R}$
b. $f(x)=\dfrac{2x^{2}+4x-5}{x+2}$ ; $f$ est une fonction rationnelle alors $D_{f}=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\;,x^{2}-4x+3\int 0\right\rbrace$
$x\int -2$ d'où $D_{f}=\mathbb{R}\left\lbrace -2\right\rbrace =]-\infty\ ;\ -2[\cup ]-2\ ;\ +\infty[$
c. $f(x)=\dfrac{x^{2}+x+3}{x^{2}-4x+3}$ ; $f$ étant une fonction rationnelle alors $D_{f}=\left\lbrace x\in\mathbb{R}\;,x^{2}-4x+3\int 0\right\rbrace$
$x^{2}-4x+3\int 0$ pose $x^{2}-4x+3=0$
$\Delta=(-4)^{2}-4(1)(3)=16-12=4$
$\begin{array}{rcl} x_{1}&=&\dfrac{4-2}{2(1)}\\&=&\dfrac{2}{2}\\&=&-3 \end{array}$ et
$\begin{array}{rcl} x_{2}&=&\dfrac{-1+5}{2(1)}\\&=&\dfrac{4}{2}\\&\text{ d'où }D_{f}]-\infty\ ;\ -3]\cup [2\ ;\ +\infty[ \end{array}$
2. Étudions la partie de $f$ dans chacun des cas suivants :
a. $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ ; $f$ existe si et seulement si $x^{2}+1\int 0\Rightarrow x^{2}\int -1$ ce qui est toujours vrai d'où $D_{f}=\mathbb{\Rightarrow}$ ; pour tout $x\in\mathbb{R}$ ; $-x\int\mathbb{R}$
$\begin{array}{rcl} f(-x)&=&\dfrac{(-x)^{2}-1}{(-x)^{2}+1}\\&=&\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\\&=&f(x)\\&\text{d'où }f
\end{array}$ est une fonction paire
b. $f(x)=\dfrac{x}{x^{4}-1}$ ; $f$ existe si et seulement si $x^{4}-1\neq 0=> x\neq
1$ et $x\neq -1$ d'où $D_{f}=\mathbb{R}\left\lbrace -1\ ;\ 1\right\rbrace$ ; pour tout $x\in D_{f}'-xìn D_{f}$
$f(-x)=\dfrac{x}{x^{4}-1}=-\dfrac{x}{x^{4}-1}=-f(x)=\dfrac{x^{3}+x}{x^{2}-9}$ ; $f$ existe si et seulement si $x^{2}-9\neq 0$
d'où $x\neq -3$ et $x\neq 3$ ainsi $D_{f}=\mathbb{R}\left\lbrace -3\ ;\ 3\right\rbrace$
pour tout $x\in D_{f}\;,-x\in D_{f}$
$\begin{array}{rcl} f(-x)&=&\dfrac{(x)^{3}+(-x)}{(-x)^{2}-9}\\&=&\dfrac{x^{3}-x}{x^{2}-9}\\&=&-\dfrac{x^{3}+x}{x^{2}-9}=-f(x) \end{array}$
D'où $f$ une fonction impaire.