Corrigée bac mathématique 1er groupe 2025

Exercice 1

Pour chacune des questions dans le tableau ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule est correcte.

Pour répondre, tu porteras sur ta copie, le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie. 

Chaque réponse correcte est notée.

Une réponse fausse ou une absenc

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N^{\circ}&\text{Questions }&\text{Réponses }&&\\&&A&B&C\\\hline1&\text{Soit }SUR\text{ un triangle rectangle }&&&2\sqrt{3}\,cm\\&\text{en }\mathbb{R}\text{ tel que }\sin\left(R\overrightarrow{U}S\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}&&&\\&\text{ et }SR=3\,cm.\text{Quelle est la }&&&\\&\text{mesure du segment }[SU]?&&&\\\hline2&\text{Quel est l'ensemble des solutions }&&&\left]1\;,\dfrac{3}{2}\right[\\&\text{dans }\mathbb{R}\text{ de l'équation }&&&\\&(3-2x)(1-x)<0?&&&\\\hline3&\text{Dans le plan muni d'un repère}&(2,0)&&\\&\text{orthonormal }\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)\;,\text{quel est le }&&&\\&\text{couple de coordonnéées de }A'\text{image du point }&&&\\&A(3\;,-2)\text{ par la translation de }&&&\\&\text{vecteur }\vec{u}(-1\;,2)?&&&\\\hline4&\text{ Quelle est l'expression littérale de }&&2x-3&\\&\text{de l'application affine }g\text{ telle que }&&&\\&g(x)=3\text{ et }g(1)=1?&&&\\\hline5&\text{Quelle est le couple solution du système }&&(1\;,-1)&\\&\text{d'équations }\left\lbrace\begin{array}{rcl}5x-2y&=&7\\-3x+4y+7&=&0\end{array}\right.?&&&\\\hline6&\text{Sur la figure ci-dessous, on a :}&&&x=\dfrac{3}{2}\\&HK=4\;,AF=5\;,LK=6\text{ et }KF=x&&&\\&\text{Pour quelle valeur de }x\text{les droites }&&&\\&(HK)\text{ et }(AF)\text{ sont-elle parallèles ?}&&&\\\hline7&\text{ Quelle est l'écriture simplifiée }&&-6-2\sqrt{3}&\\&\text{du réel }M=\left|3\sqrt{2}-5\right|+3\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}-8-\sqrt{11}?&&&\\\hline8&\text{Sans un cercle }x\text{ est la mesure }&&&\\&\text{d'un angle au centre interceptant }&\dfrac{x}{y}=2&&\\&\text{le même acr que l'angle inscrit de mesure }y&&&\\&\text{Quelle est la réduction entre }x\text{ et }y?&&&\\\hline\end{array}$

Le service de comptabilité d'une entreprise dispose des chiffres d'affaires de ses 50 points de vente pour le mois de décembre $2024$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&\text{Chiffres d'affaires en milliers de francs }&&&&&&\\\hline9016&9551&10179&9070&10510&8859&9460&10024&9936&9994\\\hline&9502&9219&9825&9845&9417&9345&10188&10652&10266\\\hline9852&9627&9771&9897&10140&10310&9186&9851&9947&8724\\ \hline&9877&9370&9890&9688&9188&9107&9130&8553&10237\\\hline9118&9675&9286&9388&8247&8829&9595&10303&9500&9878\\\hline\end{array}$

1. On regroupe ces données brutes par classes d'amplitude $500$
 
La première classe de cette série statistique est $[8000\ ;\ 8500[$ 
  
Dresse un tableau statistique comportant les classes, les effectifs, les fréquences et les fréquences cumulées décroissantes. 

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline\text{Classes }&\text{Effectifs }&\text{Fréquences }&F.C.D\%\\ &n_{i}&f_{i}&\\ \hline [8000\ ;\ 8500[&1&0.02&100\\ \hline [8500\ ;\ 9000[&4&0.08&98\\ \hline [9000\ ;\ 9500[&15&0.3&90\\ \hline [9500\ ;\ 10000[&20&0.4&60\\ \hline [10000\ ;\ 10500[&8&0.16&20\\ \hline [10500\ ;\ 11000&2&0.04&4\\ \hline \text{Total }&50&1&-\\ \hline 0.5\text{pt}&0.5\text{ pt}&0.5\text{ pt}&05\text{pt}\\ \hline \end{array}$

2. Calcule le chiffre d'affaires moyen.    
 
Complétion du tableau  

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Classes }&\text{Effectifs }&F.C.D\%&\text{Centres }c_{i}&\text{Produit }&\text{Centres }c_{i}&\text{Produit }\\ &n_{i}&f_{i}&&&f_{i}\times c_{i}&&n_{i}\times c_{i}\\ \hline [8000\ ;\ 8500[&1&0.02&100&8250&165&8250&8250\\ \hline [8500\ ;\ 9000[&4&0.08&98&8750&700&8750&35000\\\hline [9000\ ;\ 9500[&15&0.3&90&9250&2775&19250&138750\\ \hline [9500\ ;\  100000[&20&0.4&60&9750&3900&9750&195000\\ \hline [100000\ ;\ 11000[&2&0.04&4&10750&430&10750&21500\\
\hline \text{Total }&50&1&-&-&x=9610&-&480500\\ \hline 0.5\text{pt }&0.5\text{ pt }&\text{pt }&0.5\text{pt}&&&&\\ \hline \end{array}$

Calcul de la moyenne                              
 
1er  méthode : 

$\begin{array}{rcl} \overline{x}&=&8250\times 0.02+8750\times 0.08+9250\times 0.3+9750\times 0.4+10250\times 0.16+10750\times 0.04\\ \overline{x}&=&165+700+2775+3900+1640+430\\ \overline{x}=9610 \end{array}$

2ème  méthode 

$\overline{x}=\dfrac{480500}{50}=9610$

3. Quel est le pourcentage de points de vente ayant réalisé un chiffre d'affaires $CA$ tel que $9000\leq CA 10500$?

$9000\leq CA<10500$ est : $\dfrac{(15+20+8)\times 100}{50}$ soit $86\%$
 
4. En utilisant le théorème de Thalès, calcule $m_{e}$ la médiane de cette série.  

Diagramme des effectifs cumulés décroissant. 

Calcul de la médiane :

Considérons les triangles $AMN$ et $ABC$ tels que : $M\in[AB]$ ; $N\in[AC]$ et $(MN)//(BC)$

D'après la conséquence du théorème de Thalès, on a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ équivaut à

$\begin{array}{rcl}\dfrac{60-50}{60-20}&=&\dfrac{me-9500}{10000-9500}\dfrac{10}{40}\\&=&\dfrac{me-9500}{500}me\\&=&\dfrac{500}{4}+9500\end{array}$

$me=9525$ milliers de francs

Problème : 
 
Partie I 

L'unité de longueur est le décimètre.
  
On considère un cône de révolution de hauteur $12$ et de rayon de base $3.5$
  
(On donnera les résultats à $10^{-2}$ près par excès et on prendra $\pi\approx 3.14$)
 
1. Montre que la génératrice du cône mesure $12.5$

$SOM$ est un triangle rectangle en $O.$

D'après théorème de Pythagore, on a:

$\begin{array}{rcl}SM^{2}&=&SO^{2}+OM^{2}SM^{2}\\&=&12^{2}+3.5^{2}SM\\&=&12.5\,dm\end{array}$

2.Calcule l'aire latérale$\alpha_{L}$ du cône 

$\begin{array}{rcl} \alpha_{L}&=&\pi\times r\times  g\\\alpha_{L}&=&\pi\times 3.5\times 12.5\\ \alpha_{L}&=&43.75\pi\,dm^{2}\\ \alpha_{L}&\approx&137.38\,dm^{2} \end{array}$

à $10^{-2}$ près par excès

3. Calcule le volume $v$ du cône.

$\begin{array}{rcl} v&=&\dfrac{\pi r^{2}\times h}{3}\\&=&\dfrac{\pi\times 3.5^{2}\times 12}{3}\\&=&49\pi
\end{array} $

$v=49\pi dm^{2}=153.86\,dm^{3}$

4. On effectue une section de ce cône par un plan parallèle à sa base pour obtenir un tronc de cône. 

Sachant que le coefficient de réduction $k$ est égal à $\dfrac{3}{5}$ , détermine la hauteur de ce tronc de cône.                                                            

Soit $h'$ la hauteur du petit cône, $h$ la hauteur du cône et $h"$ la hauteur du tronc de cône. 

On a : $\dfrac{h'}{h}=k$, ce qui équivaut à $h'=k\times h$

$\begin{array}{rcl}\text{or }h&=&h'+h"\;,\\&\text{ donc}& h"\\&=&h-h"\\&=&h-kh\\ h"&=&h-\dfrac{3}{5}h\\
h"&=&\dfrac{2}{5}h\\ h"&=&\dfrac{2}{5}\times 12\\h"&=&4.8\,dm \end{array}$

Partie II 

Un entrepreneur reçoit une commande de $100$ bornes identiques de la part d'une commune. 

Ces bornes sont destinées à la délimitation de parcelles nouvellement aménagées.
 
Une borne a la même forme et les mêmes dimensions que le tronc de cône précédent.
 
1. Sachant que les bornes sont fabriquées en béton armé de masse volumique $3000\;,kg/m^{3}$, c'est-à-dire que chaque mètre cube de béton a une masse de $3000$ kilogrammes, calcule en kilogrammes la masse de béton armé nécessaire pour fabriquer les 100 bornes.                                                                  

(On donnera le résultat à l'unité près par excès et on prendra $\pi\approx 3.14$)
 
Le volume de béton armé nécessaire pour fabriquer une  borne est le volume $v_{t}$ du tronc de cône. 

$\begin{array}{rcl} \text{Or?,}v_{t}&=&v-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{3}v\\&=&\left(1-\left(\dfrac{3}{5}\right)\right)v\\&=&\dfrac{98}{125}v\\&=&\dfrac{98}{125}\times49\pi dm^{3}\\&=&\dfrac{98}{125}\times 49\pi \times 10^{-3}m^{3} \end{array}$

Le volume de béton nécessaire pour les $100$ bornes est alors : $v=100\times \dfrac{98}{125}\times 49\pi\times 10^{-3}m^{3}$

La masse de béton est : $M=3000\times 100\times \dfrac{98}{125}\times 49\pi \times 10^{-3}kg$

$M=36188\,kg$

La commune souhaiterait aussi recouvrir la surface latérale de chacune de ces bornes par une couche de peinture. 

Sachant que le pot de peinture peut couvrir une surface d'aire $1\,m^{2}$ et coûte $5000\,F$, calcule la dépense en peinture. 

Soit $\alpha$ l'aire latérale d'une borne.

C'est aussi l'aire latérale du tronc de cône 

$\begin{array}{rcl} \text{Or,}\alpha_{t}&=&\alpha_{L}-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}\alpha_{L}\\&=&\left(1-\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\right)\alpha_{L}\\&=&\dfrac{16}{25}\alpha_{L}\\&=&\dfrac{16}{25}\times43.75\pi dm^{2} \end{array}$

L'aire de la surface latérale des 100 bornes est alors :  

$\begin{array}{cl}\mathcal{A}&=&100\times\dfrac{16}{25}\times43.75\pi dm^{2}\\&=&\dfrac{16}{25}\times43.75\pi  m^{2}\end{array}$

Le nombre de pot nécessaire est alors $88$ pots. 

La dépense en peinture est : 

$88\times 5000\,F=440000\,F$