Évaluations standardises du second semestre - TS1 - 2024-2025

 Épreuve de mathématiques

Exercice 1 :

On précise que les questions sont indépendantes.

1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$  tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$

2. Déterminer tous les entiers relatifs $x$ et $y$ tels que : $37x+23y=1$

3. Résoudre dans $\mathbb{N}$, $2^{n}+3^{n}\equiv 0[7]$

4. Trouver suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division par $11$ du nombre                            

$a=10^{2n+4}-2\times 10^{n+2}+1$

5. Trouver les deux derniers chiffres de $7^{(9^{(9^{9}})}$                                                                                         

Exercice 2 :

On considère la courbe paramétrée définie par les équations ; $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x't)&=&a\cos^{3}t\\ y(t)&=&a\sin^{3}t \end{array}\right.$

1.a. Calculer $x(t+2\pi)$ et $y(t+2\pi)$ puis conclure.                                                                       

b, Calculer $x(t+\pi)$ et $y(t+\pi)$ puis conclure.                                                                            

c. Calculer $x(-t)$ et $y(-t)$ puis conclure.
                                                                                  
d. Calculer $x\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$ et $y\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)$ puis conclure.
                                                                        
2. Avec les conclusions de la question $1.$, on peut faire l'étude pour t appartenant à $\left[\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$

a. Dresser le tableau de variations conjointes.                                                                                    

b. Construire la courbe pour $a=2\ldots$
 
Problème :
 
Partie A
 
Soit $S$ l'ensemble des fonctions numériques $f$ d'une variable réelle dérivables sur $]-2\ ;\ +\infty[$ et vérifiant la relation : $f\forall x\in]-2\ ;\ +\infty[\;,[(2+x)f'(x)+f(x)=1+\ln(2+x)$

1. Soit $f$ un élément de $S$, $g$ la fonction dérivable sur l'intervalle $]-2\ ;\ +\infty[$ et définie par  $g(x)=(2+x)f(x)$
 
a. Démontrer que $g$ est une primitive sur l'intervalle $]-2\ ;\ +\infty[$ de la fonction ℎ définie par  $h(x)=1+\ln(2+x)$

b. Réciproquement , $g_{1}$ est une primitive de la fonction $h$ sur $]-2\ ;;\ +\infty[$, démontrer que la fonction $t$ définie par : $\forall t\in]-2\ ;\ +\infty[\;,t(x)=\dfrac{g_{1}(x)}{2+x}$ est  un élément de $S.$
                                                 
2.  A l'aide d'une intégration par parties déterminer l'ensemble  des primitives de $h$ sur  $]-2\ ;\ +\infty[$
 
En déduire l'ensemble $S$
     
Partie B

1. On considère l'ensemble des fonctions $f_{k}\ :\ x\mapsto \ln(2+x)+\dfrac{k}{2+x}$ dérivable sur l'intervalle est un paramètre réel.    
                                                          
a. Calculer suivant les valeurs de $k$ les limites de $f_{k}$ aux bornes de son ensemble de  
définition $D_{f }k=]-2\ ;\ +\infty[$
                                                                                                     
b. Étudier le sens de variations de $f_{k}$ et dresser son tableau de variation suivant les valeurs de $k.$
                                                                                                                                       
c. Dans un même repère orthogonal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ avec $\left|\left|\vec{i}\right|\right|=1\,cm$ et $\left|\left|j\right|\right|=2\,cm$, tracer les courbes respectives des  fonctions  $f_{-2}$, $f_{0}$ et $f_{1}$

2. $\forall t\in\mathbb{R}$ et $\forall n\in\mathbb{N}\lbrace 0\ ;\ \rbrace$ on pose : $Q_{n-2}(t)=-t+(1+t)^{2}+\ldots +(-1)^{n+2}(1+t)^{n-2}$
 
a. Démontrer que : $\forall t \in\mathbb{R}\lbrace 0\ ;\ 1\rbrace\;, Q_{n-2}(t)=\dfrac{1(1)^{n-1}(1+t)^{n-1}}{2+t}$ puis en déduire que                                         

$\dfrac{1}{2+t}=-t+(1+t)^{2}+\ldots+(-1)^{n-2}(1+t)^{n-2}+\dfrac{(-1)^{n-1}(1+t)^{n-1}}{2+t}$
 
b. Démontrer que : $\forall x\in]-1\ ;\ 0[\;,f_{0}(x)=P_{n-1}(x)+(-1)^{n-1}\int_{-1}^{x}         \dfrac{(1+t)^{n-1}}{2+t}dt$ où $P_{n-1}(x)$ est un polynôme que l'on précisera.
                                                                                             
3. On considère la fonction $\Phi$ définie par $\Phi(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{f_{0}(x)}{x+1}&\text{ si }x\in]-1\ ;\ 0[\\ 1&\text{si }x=-1 \end{array}\right.$
 
a. Démontrer que $\forall x\in[-1\ ;\ 0]\;,\int_{-1}^{x}\dfrac{(1+t)^{n-1}}{2+t}dt\leq \dfrac{1}{n}$
 
b. Utiliser la question $2.b$ pour démontrer que : $\forall x\in\left|\Phi(x)-\dfrac{P_{n-1}(x)}{x+1}\right|\leq\dfrac{1}{n(x+1)}$
 
c. Démontrer que :  

$\begin{array}{rcl} \int_{-1+\dfrac{1}{n}}^{0}&\Phi&(x)dx+\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{1}{n}\right)+S_{n}\left(-1+\dfrac{1}{n}\right)\leq S_{n}(0)\leq \int_{-1+\dfrac{1}{n}}^{0}\\&\Phi&(x)dx-\dfrac{1}{n}\ln\left(\dfrac{1}{n}\right)+S_{n}\left(-1+\dfrac{1}{n}\right) \end{array}$

où $S_{n}(x)=x-\dfrac{1}{2^{2}}(1+x)^{2}+\dfrac{1}{3^{2}}(1+x)^{3}\ldots +(-1)^{n-2}\dfrac{(1+x)^{n-1}}{(n-1)^{2}}\;,n\geq 2$

Partie C   

Soit $\psi_{n}(x)=\sum_{i=0}^{2n-1}(-1)^{i}(1+x)^{i}$

1. Démontrer par récurrence que, $\forall n\in\mathbb{N}\lbrace 0\rbrace\;,\forall x\in]-2\ ;\ +\infty[$

$f_{0}^{'}(x)=\phi_{n}(x)+\dfrac{(1+x)^{2n}}{2+x}$

2. Démontrer que $\forall n\in\mathbb{N}\;, 0\leq\int_{-1}^{0}\dfrac{(1+x)^{2n}}{2+x}dx\leq\dfrac{1}{2n+1}$
 ∙                                                         
3. On considère la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par : $\forall n\in\mathbb{N}\lbrace 0\rbrace\;,U_{n}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{(-1)^{i+1}}{i}$

a.  Démontrer que $\forall n\in\mathbb{N}\lbrace 0\rbrace\;,f_{0}(0)=U_{n}+\int_{-1}^{0}\dfrac{(1+x)^{2n}}{2+x}dx$

b. En déduire la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$