Composition de mathématiques du semestre 1 - 3e

EXERCICE 1: (08,5 points)

PARTIE A : Soient

\[
a = 1 - \frac{2}{3} \sqrt{3}, \quad 
b = \frac{5}{6} \sqrt{\frac{49}{25}} - \sqrt{1}, \quad 
c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}.
\]

    1. Simplifie \( b \) et \( c \)  (0,5point+0,5point)
    2. Montre que \( a = -b \)  (0,5point)
    3. Montre que \( a = \frac{1}{c} \). Déduis-en que \( a^2 = \frac{a}{c} \)  (0,5point+0,5point)
    4. Montre \( d = b \times c + 1 \).  (0,5point)

PARTIE B

    1. On donne \( m = \sqrt{45} + \sqrt{196} - \sqrt{180} - \sqrt{245} \). Écris \( m \) sous la forme \( a\sqrt{b} + c \) où \( a ; b \) et \( c \) sont des entiers et \( b \) étant le plus petit entier positif possible.  (1point)
    
    2. On donne \( x = \frac{2}{3\sqrt{2} - 4} \) et \( y = 3\sqrt{2} + 4 \). Montre que \( y - x \) est un entier naturel.  (1point)
    
    3. 
    
        a) Soit \( z = (\sqrt{2} - 3)^2 - \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})^2} - \sqrt{32} \). Montre que \( z = 8(1 - \sqrt{2}) \)  (1point)
        b) Encadre \( z \) à \( 10^{-2} \) près. On donne \( 1,414 < \sqrt{2} < 1,415 \)  (0,5point)
    

EXERCICE 2: (04 points)

    1. Trouve le couple de réels \( (a ; b) \) tel que \( (10 ; 15) \) soit solution du système 
    \[
    \begin{cases}
    ax + by = 50 \\
    2bx - ay = 10
    \end{cases}
    \]  (1point)
    
    2. Résous algébriquement le système d'équations
    \[
    \begin{cases}
    x + y = 50 \\
    2x - y = 10
    \end{cases}
    \]  (1point)
    
    3. Dans une classe de troisième de 50 élèves. Si 3 garçons sortent et 4 filles entrent, on se retrouve avec deux fois plus de filles que de garçons. On désigne par \( x \) le nombre de garçons et par \( y \) le nombre de filles.
    
        a) Fais une mise en équations du problème.
        b) Détermine le nombre de garçons et de filles de la classe.  (1 point)
    

EXERCICE 3: (05 points)

Soit \( \mathcal{C} \) un cercle de centre \( O \) et de diamètre \( [AB] \) tel que \( AB = 6\,cm \). \( R \) est un point du cercle tel que \( \widehat{ABR} = 60^\circ \).

    1. Fais une figure que l'on complétera au fur et à mesure.  (0,5point)
    
    2. Quelle est la nature du triangle \( ABR \) ? Justifier.  (0,5point)
    
    3. Donne en justifiant la mesure de l'angle \( \widehat{ROB} \) puis la nature exacte du triangle \( ROB \).  (1point)
    
    4. La perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( R \) coupe \( (AB) \) en \( H \). Calcule \( RH \).  (1point)
    
    5. Soit \( I \) le milieu de \( [RB] \) et \( M \) le point d'intersection des droites \( (OI) \) et \( (RH) \). Calcule \( RM \).  (1point)
    
    6. Calcule la valeur exacte de la longueur du petit arc \( BR \).  (1point)

EXERCICE 4: (05 points)

    1. SABCD est une pyramide régulière à base carrée de sommet \( S \) telle que l'aire de base est \( 576\,cm^2 \). Montre que \( AB = 24\,cm \).  (0,5point)
    
    2. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base passant par les points \( M, N, O, P \) tel que \( MN = 8\,cm \). Le tronc de pyramide obtenu (\( MNOPABCD \)) est un pot de fleur de \( 12\,cm \) de profondeur.
    
        a) Montre que la hauteur de la pyramide \( SH = 18\,cm \) et \( SH' = 6\,cm \).
        b) Calcule le volume de la pyramide initiale et déduis-en celui du pot de fleur.  (1,5point)
    
    
    2. Les faces latérales de ce pot de fleur sont des trapèzes de mêmes dimensions. La médiane \([SI]\) du triangle \( SBC \) coupe \([NO]\) en \( I \).
    
        a) Calcule \( SI \).
        b) Montre que la hauteur du trapèze \( ONBC \) est \( 4\sqrt{13}\,cm \).  (0,5point)
        c) Calcule l'aire latérale de ce pot de fleur.