COMPOSITION DE MATHS SEMESTRE 1

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

EXERCICE 1 : (6,5 points)

PARTIE A :

Soient $\displaystyle a = 1 - \frac{2}{3}\sqrt{3}$, $\quad$ $\displaystyle b = \frac{5}{6}\sqrt{\frac{18}{25}} - \sqrt{1}$, $\quad$ $\displaystyle c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}$

1. Simplifie $b$ et $c$. 0,5 point + 0,5 point
2. Montre que $a = -b$. 0,5 point
3. Montre que $\displaystyle a = \frac{1}{c}$. Déduis en que $\displaystyle a^2 = \frac{a}{c}$. 0,5 point + 0,5 point
4. Calcule $b \times c + 1$. 0,5 point

PARTIE B :

Moussa et Amy ont vendu des billets d'entrées à l'occasion de la fête de fin d'année.
Moussa dit à Amy : « Si je te donne un quart de mes billets vendus, j'aurai vendu un billet de plus que toi. »
Déterminer le nombre de billets vendus par chacun des deux, sachant que le montant des ventes s'élève à $9\,000^{\text{Francs}}$ et le prix unitaire d'un billet est $100^{\text{Francs}}$. 2 points

EXERCICE 2 : (06 points)

Soit $f(x) = (2x+1)^2 - 6x(2x+1) + 9x^2$

1. Factorise $f(x)$. 1 point
2. 1. On donne $f(x) = (-x+1)^2$. Montre que $\displaystyle f(\sqrt{3}) = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$. 1 point
   2. Donne un encadrement de $-4 - 2\sqrt{3}$ à $0{,}01$ près, sachant que $1{,}732 < \sqrt{3} < 1{,}733$. 0,5 point
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
   1. $|x^2 - 1| = 8$ 1 point
   2. $(-x+1)(1-3x) \geq 0$ 1 point
   3. $x(x-2) < 0$ 1 point

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE 3 : (3 points)

Sur la figure ci-contre :

1. Démontre que : $\widehat{BAR} = \widehat{PSG}$. 2 points
2. Soit $ABC$ un triangle inscrit dans un cercle de centre $I$ et de rayon $r = 3\,\text{cm}$, tel que : $\widehat{AIB} = 130°$ et $\widehat{ABC} = 75°$.
   1. Calculer les mesures des angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AIC}$. 1,5 point
   2. Soit $D$ le point diamétralement opposé à $B$. Calculer l'angle $\widehat{AID}$ puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$. 0,5 point
   3. Calculer la mesure de l'arc $AB$. (Prendre $\Pi = 3$.) 0,5 point

1. Réponds par vrai ou faux :
   1. La représentation est le patron d'une pyramide régulière à base triangulaire. 0,5 point
   2. La représentation est le patron d'un tétraèdre régulier. 0,5 point
2. On donne $AB = 4\sqrt{3}\,\text{cm}$ et $H$ le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
   Montre que $CH = 6\,\text{cm}$. 0,5 point
3. Soit $G$ le centre de gravité de $ABC$. Montre que $AG = 4\,\text{cm}$. 0,5 point
4. On donne $SA = 4\sqrt{10}\,\text{cm}$. Montre que $SG = 10\,\text{cm}$. 0,5 point
5. Calcule le volume initial de la pyramide correspondante. 1 point
6. Cette pyramide reposant sur sa base $ABC$ est remplie à mi-hauteur d'un liquide.
   Calcule le volume du liquide. 1,5 point