COMPOSITION DE MATHS SEMESTRE 1

 ACTIVITES NUMERIQUES

EXERCICE 1: (6,5 points)

PARTIE A:
Soient $a = 1 - \frac{2}{3}\sqrt{3}$ , $b = \frac{5}{6}\sqrt{\frac{48}{25}} - \sqrt{7}$ , $c = 1 - \sqrt{16} - \sqrt{12}$
1. Simplifie b et c. (0,5point + 0,5point)
2. Montre que $a = -b$. (0,5point)
3. Montre que $a = \frac{1}{c}$. Déduis en que $a^2 = \frac{a}{c}$. (0,5point + 0,5point)
4. Calcule $b \times c + 1$. (0,5point)

PARTIE B:
Moussa et Amy ont vendu des billets d'entrées à l'occasion de la fête de fin d'année.
Moussa dit à Amy, "si je te donne un quart de mes billets vendus, j'aurai vendu un billet de plus que toi."
Déterminer le nombre de billets vendus par chacun des deux sachant que le montant des ventes s'élève à 9000 Francs et le prix unitaire d'un billet est 100 Francs. (2points)

EXERCICE 2: (06 points)

Soit $f(x) = (2x + 1)^2 - 6x(2x + 1) + 9x^2$
1. Factorise $f(x)$. (1point)
2. a) On donne $f(x)= (-x + 1)^2$. Montre que $f(\sqrt{3}) = \frac{-2+2\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$. (1point)
   b) Donne un encadrement de $-4 - 2\sqrt{3}$ à 0,01 près sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$. (0,5point)
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$
   a) $|x^2 - 1| = 8$ (1point)
   b) $(-x + 1)(1 - 3x) \ge 0$ (1point)
   c) $x(x - 2) < 0$ (1point)

 ACTIVITES GEOMETRIQUES

EXERCICE 3: (3 points)

Sur la figure ci-contre :

1. Démontre que : $\widehat{BAR} = \widehat{PSG}$. (2points)
2. Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle de centre I et de rayon r = 3cm, tel que : $\widehat{ATB} = 130^\circ$ et $\widehat{ABC} = 75^\circ$.
   a) Calculer les mesures des angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{AIC}$. (1,5point)
   b) Soit D le point diamétralement opposé à B. Calculer l'angle $\widehat{ATD}$ puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$. (0,5point)
   c) Calculer la mesure de l'arc $\overset{\frown}{AB}$. (Prendre $[\pi] = 3$). (0,5point)

EXERCICE 4: (05 points)

1. Réponds par vrai ou faux :
   a. La représentation est le patron d'une pyramide régulière à base triangulaire. (0,5point)
   b. La représentation est le patron d'un tétraèdre régulier. (0,5point)
2. On donne AB = $4\sqrt{3}$ cm et H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Montre que CH = 6 cm. (0,5point)
3. Soit G le centre de gravité de ABC. Montre que AG = 4 cm. (0,5point)
4. On donne SA = $4\sqrt{10}$ cm. Montre que SG = 10 cm. (0,5point)
5. Calcule le volume initial de la pyramide correspondante. (1point)
6. Cette pyramide reposant sur sa base ABC est remplie à mi-hauteur d'un liquide. Calcule le volume du liquide. (1,5point)