ACTIVITES NUMERIQUES

EXERCICE 1: (04 points)

1.

a) Si $x < b$, l'équation $|x-b|=a$ admet deux solutions: vrai ou faux. 0,5 point

b) Si $a > b$ alors une expression conjuguée de $-x\sqrt{a}-b$ est. Complète : ...................... 0,5 point

2.

a) Quand dit-on que $M(x_0, y_0)$ est solution du système $\begin{cases} x+y=20 \\ -x+2y=1 \end{cases}$ 0,5 point

b) Résous algébriquement le système d'équations $\begin{cases} x+y=20 \\ -x+2y=1 \end{cases}$ 1 point

3. Alioune dispose 20 billets de banque composés de billets de 500F et 1000F. Alioune dit « Si j'avais trois billets de 500F en moins et deux billets de 1000F en moins, je disposerais de la même somme d'argent en billets 500F qu'en billets de 1000F. »
Trouve le nombre de billets de 500F et celui de 1000F. 1,5 point

EXERCICE 2: (6 points)

1. Montre que si $m < 1$ alors $\dfrac{\sqrt{m^2 - 2m + 1}}{(m-1)^2} = -m-1$. 1 point 2. On donne $x = a - 2\sqrt{2}$, $y = a + 4 + 2\sqrt{2}$ et $z = a + 2\sqrt{2}$.

a) Calcule $a$ pour que $x$ et $y$ soient opposés. 0,5 point

b) Calcule les valeurs de $a$ pour que $x$ et $z$ soient des inverses. 1 point

3. On pose : $m = \sqrt{3 + \sqrt{5}-1} - \dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ et $n = \dfrac{-\sqrt{5}-3}{4}$.

a) Montre que $m = \sqrt{5} - 3$. 0,5 point

b) Calcule $m \times n$. En déduire que $m - \dfrac{1}{n} = 0$. 1 point

4.

a) Montre que l'écriture sans radical au dénominateur de $p = \dfrac{3\sqrt{3}-1}{5+\sqrt{3}}$ est $\dfrac{-4 - 14\sqrt{3}}{21}$. 0,5 point

b) Sachant que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$. Donne un encadrement à l'ordre 1 de $p$. 0,75 point

5. On donne $f(x) = (x-2)(x-3) - 6(x-1)^2 - 24$.

a) montre que la forme de $f(x) = (x-3)(-5x-8)$. 0,5 point

b) Résous dans $\mathbb{R}$ $(x-3)(-5x-8) \ge 0$. 0,75 point

ACTIVITES GEOMETRIQUES

EXERCICE 3: (05 points)

1. Complète chacune des affirmations suivantes :

a) Si CAS est un triangle rectangle en A alors $CA^2 = ......................$ 0,5 point

b) Si les triangles IEF et IRT sont en position de Thales alors $\dfrac{IF}{................} = \dfrac{................}{IT}$. 0,5 point

c) Si KLR est un triangle tel que $KL^2 = KR^2 + RL^2$ alors le triangle KRL ............... en ............... 0,5 point

2. ABH est un triangle rectangle en H tel que $BA=6\text{cm}$, $BH=4\text{cm}$. I est le point d'intersection entre la bissectrice de l'angle $\widehat{ABH}$ et le côté (AH) du triangle ABH.

a) Fais une figure que tu complèteras. 1 point

b) Justifie que la mesure de l'angle $\widehat{ABI}$ vaut 60°. 1 point

c) Calcule la valeur exacte de BI. 0,5 point

3. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle IBH. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{IOH}$ et la longueur de l'arc $\overset{\frown}{IH}$. 1 point

EXERCICE 4: (4,5 points) 1.

a) Construis le triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que $AE = 3\sqrt{2} \text{ cm}$. D et E les symétriques respectifs de B et C par rapport à A. 0,5 point

b) Justifie que BCDE est un polygone régulier dont tu préciseras la nature. 0,5 point

2. Une pyramide régulière de sommet S et de base BCDE a une arête latérale $SB = 3\sqrt{11}$. 1 point

a) Faire la figure (représentation en perspective cavalière). 0,5 point

b) Montre que sa hauteur $SA = 9\text{cm}$. 0,5 point

c) Détermine le volume d'aire que renferme un récipient ayant cette forme s'il est rempli d'eau au tiers de sa hauteur à partir de son sommet. 1,5 point