Compositions harmonises du $1er$ semestre $2024-2025$ - 3e

Exercice 1

Écris le numéro de l'énoncé puis la lettre correspondant à la bonne réponse

1. Si $\overbrace{a}$ et $\overbrace{b}$ sont deux angles complémentaires et si $\sin\overbrace{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ alors $\cos\overbrace{b}$ est égal à :

a. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

b. $\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$

c. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2.  Si $\overbrace{a}$ et $\overbrace{b}$ sont deux angles inscrits dans un cercle interceptant le même arc alors :

a. $\text{mes }\overbrace{a}=\text{mes }\overbrace{b}$ ;

b. $\text{mes }\overbrace{a}=\dfrac{1}{2}\text{mes }\overbrace{b}$  ;

c. $\text{mes }\overbrace{a}=2\text{mes }\overbrace{b}$

3. Si les triangles $IDA$ et $ORI$ sont en position de thales avec $D\in [IO]$ alors :

a.$\dfrac{ID}{IO}=\dfrac{IR}{IA}$ ;

b. $\dfrac{DA}{OR}=\dfrac{AI}{RI}$ ;

c. $\dfrac{IA}{IR}=\dfrac{OR}{DA}$

4. La solution de l'inéquation $(x-3)(2-x)\geq 0$ est

a. $[2\ ;\ 3]$ ;

b. $]2\ ;\ 3[$ ;

c. $]-\infty\ ;\ 2]\cup[3\ ;\ +\infty[$

5. L'équation $x^{2}=12$ a pour solution :

a. $S={\sqrt{12}}$ ;

b. $S={-12\ ;\ 12}$

c. $S={2\sqrt{3}\ ;\ -2\sqrt{3}}$

6. Si a $\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{N}$ alors $\sqrt{a^{2}\times b}$ est égale a :

a. $a\sqrt{b}$ ;

b. $|a|\sqrt{b}$ ;

c. $|b|\sqrt{a}$

Exercice 2

On donne les réels $x=\dfrac{1}{2\sqrt{6}-5}$, $y=5+2\sqrt{6}$ et $z=-5+2\sqrt{6}$

1. Rends rationnel le dénominateur de $x$

2. Montre $x$ et $y$ sont opposés.

3. Montre que $z$ et $x$ sont des inverses.

4. Calcul $x^{2}$ ; $y^{2}$ ; $\dfrac{x}{z}$ et $(x-y)^{2}$

6. Donne un encadrement d'ordre $2$ de $-2\sqrt{6}-5$ sachant que $2.449<\sqrt{6}<2.450$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations ci-dessous :

a. $|-x+3|=|3x+15|$ ;

b. $2x^{2}+9\leq 0$ ;

c. $12-4x^{2}=0$

Exercice 4

Reproduis la figure ci-dessous en vrai grandeur que tu complèteras au fur et mesure.

On donne : $MT=5\,cm$ et mes$\overbrace{ATM}=30$

1. Calcule les valeurs exacte de $AT$ et $MA$

2. Calcule mes$\overbrace{AOM}$

3. Marque le point $E$ de $[MT)$ tel que $TE=2\,cm$ et $E$ n'appartient pas à $[MT]$ et le point $S$ sur $[AT)$ tel que $AS=\dfrac{7}{5}\,AT$

4. Démontrer que $\dfrac{TS}{TA}=\dfrac{2}{5}$

5. Montrer que les droites $(AM)$ et $(SE)$ sont parallèles.

6. Calcule la distance $SE$