Devoir commun 1 de mathématiques du semestre 2

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

EXERCICE 1 : (2 points)

1. L'écriture \(\sqrt{xy}\) existe si et seulement si : 0,5 pt
   Réponse A : \(x\) et \(y\) sont de même signe

   Réponse B : \(x\) et \(y\) sont de signes contraires
2. Si \(b > 0\) alors l'écriture sans radical au dénominateur de \(\dfrac{2}{\sqrt{b}}\) est égale à : 0,5 pt
   Réponse A : \(\dfrac{2\sqrt{b}}{-b}\)

   Réponse B : \(\dfrac{2\sqrt{b}}{b}\)

   Réponse C : \(\dfrac{\sqrt{b}}{2}\)
3. Parmi les couples ci-dessous, quels sont ceux qui sont solution de l'équation \(3x - \dfrac{3}{2}y = -3\) : 0,5 pt
   Réponse A : \((-2\,;\,-6)\)

   Réponse B : \((-1\,;\,0)\)

   Réponse C : \((-2\,;\,1)\)
4. L'inéquation \(\begin{cases} 9x - 1 < 0 \\ 5x - 1 > 0 \end{cases}\) admet comme solution : 0,5 pt
   Réponse A : \(S = \left[\dfrac{1}{9}\,;\,\dfrac{1}{5}\right[\)

   Réponse B : \(S = \emptyset\)

   Réponse C : \(S = \left[\dfrac{1}{9}\,;\,\dfrac{1}{5}\right]\)

EXERCICE 2 : (7,5 points)

On donne \(a = \dfrac{6 - 2\sqrt{3}}{2}\).

1. Encadre \(a\) à \(\dfrac{1}{100}\) près sachant que \(1{,}732 < \sqrt{3} < 1{,}733\). 1 pt
2. Calcule \(a^2\). 0,5 pt
3. Donne les écritures simplifiées des valeurs de \(x\) sachant que \(x^2 = 12 - 6\sqrt{3}\). 1 pt

1. Résoudre le système \(\begin{cases} x + y = 8 \\ x + 2y = 11 \end{cases}\). 1,5 pt
2. Le périmètre d'un rectangle est de 16 cm. Si l'on ajoute 3 cm à la longueur et si l'on double la largeur, le périmètre devient 28 cm. Trouve les dimensions du rectangle. 1,5 pt

On donne \(A = (2x + 3)^2 - 2(2x + 3) + 1 - (x + 1)\).

1. Sans développer, montre que la forme factorisée de \(A\) est : \((x+1)(4x+3)\). 1 pt
2. Résous dans \(\mathbb{R}\) : \((-x - 1)(4x + 3) \geq 0\). 1 pt

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE 3 : (7 points)

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(BC = 8\) cm, \(\widehat{ABC} = 80°\), \(\widehat{ACB} = 30°\). \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(B\).

1. Calcule la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\). 0,5 pt
2. Montre que \(BH = 4\) cm et \(CH = 4\sqrt{3}\) cm. 1,5 pt
3. Calcule la valeur approchée de \(AB\) à un \(0{,}01\) près. 0,5 pt
4. Place \(F\) sur la demi-droite \([BC)\) tel que \(F \notin [BC]\) et \(CF = 2\) cm. La parallèle à \((BH)\) passant par \(F\) coupe \((AC)\) en \(M\). Calcule les valeurs exactes \(CM\) et \(FM\). 1,5 pt
5. Construis le cercle \((C)\) de centre \(I\) circonscrit au triangle \(ABC\). Place \(E\) et \(N\) sur \((C)\) tel que \(E \in \widehat{BC}\) et \(N \in \widehat{BC}\).
   
   1. Justifie que les angles \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{CEB}\) ont la même mesure. 0,5 pt
   2. Calcule la mesure de l'angle \(\widehat{CNB}\). En déduire que \(\widehat{CEB}\) et \(\widehat{CNB}\) sont supplémentaires. 1,5 pt

Figure complète : 1 pt

EXERCICE 4 : (3,5 points)

NB : la figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

1. Montre que les droites \((AP)\) et \((EF)\) sont parallèles. 1 pt
2. Justifie que \(FE = 13\) cm. 1 pt
3. a) Démontre que le triangle \(EFG\) est rectangle. 1 pt
   b) Justifie que les angles \(\widehat{EFG}\) et \(\widehat{PAG}\) ont la même mesure. 0,5 pt