Devoir de Maths n° 2 Semestre 2 - 3e
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES
EXERCICE 1 : (4,5 points)
1. Complète chacune des phrases suivantes :
a. Si \(m\) est un nombre quelconque, la racine carrée du carré de \(m\) s'écrit .......... et est égale à ....... . . (0,5 point)
b.Si \(|a| = |b|\) alors :................................................................................................................................................ (0,5 point)
c. Si \(a > 0\) : les solutions de l'équation \(x^2 = a\) sont : ................................................................................... (0,5 point)
2. On donne \(A = \sqrt{\frac{4}{3}} + \sqrt{\frac{16}{3}} + \sqrt{\frac{50}{6}} + \sqrt{\frac{49}{3}} + \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}\). Écris \(A\) sous la forme \(m\sqrt{n}\) avec \(m \in \mathbb{Q}^+\), \(n \neq 0\). (1 point)
3. Les réels \(F = -\frac{2 - \sqrt{6}}{2}\) et \(G = -2 + \sqrt{6}\) sont-ils des inverses ? Justifie ta réponse. (1 point)
4. Un locataire dit à son logeur : je ne dispose que des \(\frac{4}{5}\) du montant de ma location ; mais si vous m'accordez une réduction du tiers du montant initial, il me restera après avoir payé 1750 F CFA.
Calcule le montant initial de la location. (1 point)
EXERCICE 2 : (4,5 points)
Soit \(f(x) = (2x + 1)^2 - 6x(2x + 1) + 9x^2\).
1. En utilisant une identité remarquable, montre que \(f(x) = (-x + 1)^2\). (1 point)
2. a. Montre que \(f(\sqrt{3}) = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\). (1,5 point)
b. Donne un encadrement de \(4 - 2\sqrt{3}\) à \(0,01\) près sachant que \(1,732 < \sqrt{3} < 1,733\). (0,5 point)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a. \(|x^2 - 1| = 8\) (1 point)
b. \((-x + 1)(1 - 3x) \geq 0\) (1 point)
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES
Exercice 3 : (06 points)
Soit \( AOK \) un triangle rectangle en \( K \) tel que \( OK = 3\,\text{cm} \) et \( OA = 6\,\text{cm} \).
1. a. Montrer que \( AK = 3\sqrt{3}\,\text{cm} \). (0,5 point)
b. Calculer \(\sin \widehat{KAO}\) ; en déduire la mesure de l'angle \(\widehat{KOA}\). (1 point)
2. La perpendiculaire en \( A \) à la droite \( (OA) \) coupe la droite \( (OK) \) en \( B \). Montrer que \( BO = 12\,\text{cm} \). (0,5 point)
3. Construis \( C \) le symétrique de \( A \) par rapport à la droite \( (OK) \). Donne en justifiant la nature de \( ABC \). (0,5 point)
4. Place le point \( I \) sur \([BA]\) tel que \( AI = \frac{1}{3} AB \). Sachant que \( BI = AB - AI \), montre que
\[ \frac{BI}{AB} = \frac{2}{3}. \] (0,5 point)
5. \( H \) est le point de \([BO]\) tel que \( BH = 6\,\text{cm} \).
a. Justifie que les droites \( (HI) \) et \( (KA) \) sont parallèles puis Calcule \( HI \). (1 point)
b. Quelle est la nature exacte du quadrilatère \( HAOC \) ? Justifier. (0,5 point)
Figure complète (1,5 point)
EXERCICE 4 : (5 points)
PARTIE A :
1. ANC est un triangle rectangle en A. H pied de la hauteur issue de A. Recopie puis complète (1 point)
\[
\cos \widehat{CNA} = \frac{\text{NH}}{.......}; \quad \sin ..... = \frac{\text{NH}}{\text{NA}}; \quad \tan ........ = \frac{\text{AH}}{\text{CH}}; \quad .......\widehat{ACN} = \frac{\text{AN}}{\text{CN}}
\]
2. Si EFG est un triangle, I $\in$ [EF], J $\in$ [EG] et si : complète $\frac{EF}{EI} = \frac{\text{......}}{\text{......}}$ alors les droites ......... sont ......... (0,5 point)
PARTIE B :
1. Construis un triangle PIC inscrit dans un cercle de centre O, de rayon r et de diamètre [IC] tel que PI = r et le point N pied de la hauteur issue de P. (1 point)
2. Quelle est la nature du triangle PIC ? (0,5 point)}
3. Montrer que le cosinus de l'angle PIC vaut $\frac{1}{2}$. En déduire la mesure exacte de l'angle PIC. (0,5 point + 0,5 point)
4. Calcule de deux façons différentes la mesure de l'angle POC. (0,5 point + 0,5 point)
5. Exprimer PN en fonction de r. (0,5 point)
6. On pose $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm
a) En déduire PN. (0,5 point)
b) Calculer IN. (0,5 point)