Devoir N°2 de Mathématiques du Semestre 1 - 3e
EXERCICE 1: (2,5 points)
Donne la lettre correspondant à la bonne réponse de chacun des énoncés. Exemple (5 \(\rightarrow\) D).
| N° | Énoncé | Réponse A | Réponse B | Réponse C |
|---|---|---|---|---|
| 1. | L'inéquation \( -2x^2 + 4 \geq 0 \) | \( s = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \) | \( s = ]-\infty; -\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2}; +\infty[ \) | \( s = \emptyset \) |
| 2. | Si deux angles \( \alpha \) et \( \beta \) sont complémentaires alors | \( \sin \alpha = \sin \beta \) | \( \cos \alpha = \sin \beta \) | \( \tan \alpha = -\tan \beta \) |
| 3. | Si MER est un triangle ; M, I, E d’une part et M, A, R d’autre part sont alignés dans le même ordre et \( \frac{ME}{MI} = \frac{MR}{MA} \) alors | \( (IA) // (ER) \) | \( (IA) // (MR) \) | \( (IE) // (AR) \) |
| 4. | soit ABC équilatéral alors sin \( \beta \) est : | \( \frac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| 5. | Un tétraèdre régulier est formé de : | 4 triangles équilatéraux | 4 triangles rectangles | 3 triangles équilatéraux |
EXERCICE 2: (6,5 points)
1.On donne \(a = 2 - \sqrt{3}\) et \(b = 7 - 4\sqrt{3}\).
a) Étudier le signe de \(a\) puis calculer \(a^2\)(0,5 point + 0,5 point)
b) On pose \(X = \frac{a}{b}\). Écrire \(X\) sans radical au dénominateur puis montrer que \(X\) et \(Y = \frac{-3\sqrt{12} + 4\sqrt{3} - \sqrt{16}}{2}\) sont opposés(1 point)
c) Justifier que \(E = \left(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\right)^{2}\) est un entier naturel(0,5 point)
2. On donne \(A = (3x + 1)^{2} - 25\left(x^{2} - x + \frac{1}{4}\right)\).
a) Sans développer montre que la forme factorisée de \(A\) est : \(\left(8x - \frac{3}{2}\right)\left(-2x + \frac{7}{2}\right)\)(1 point)
b) Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(A = 0\) ; \(A \geq 0\) ; \(\sqrt{(x + \sqrt{3})^{2}} = 2 - \sqrt{3}\)(3 points)
EXERCICE 3: (6,5 points)
CEM est un triangle tel que : ME = 6,4 cm ; CM = 8 cm ; EC = 4,8 cm.
1. Démontre que le triangle CEM est rectangle en E(0,5 point)
2. La droite (D) perpendiculaire en C à la droite (MC) coupe (EM) en un point L.
a) Exprime de deux façons différentes \(\tan \widehat{M}\)(1 point)
b) En déduis la distance LC(0,5 point)
3. Soit I milieu de [CM] ; Construis le cercle \(C(I ; IM)\). Calcule la mesure de l'angle \(\widehat{CTE}\)(1 point)
4. Place le point J sur [CL] tel que \(LJ = 1,8\) cm. La parallèle à la droite (LE) passant par J coupe [CM] en N. Calcule CN et NJ(1,5 point)
5. Place le point R sur [EM] tel que \(RE = 5\) cm et le point S sur [EC] tel que \(ES = 3,75\) cm. Démontre que les droites (RS) et (CM) sont parallèles(1 point) \\
\textbf{FIGURE COMPLÈTE} \hfill (1 point)
EXERCICE 4 : Pyramide
1. Fais une esquisse de la pyramide(0,5 pt)
2. Cette pyramide est-elle régulière ? Justifie ta réponse(0,5 pt)
3. Calcule AC(0,5 pt)
4. Calcule SA(0,5 pt)
5. Soit I le milieu de [BC].
a) Calcule SI(0,5 pt)
b) Calcule l'aire totale de cette pyramide(1 pt)