Devoir commun de mathmatiques du premier semestre - 3e

EXERCICE 1: (07 points)

PARTIE A:

    1. Recopie et complète les phrases ci-dessous : étant donnés \( x \) et \( y \) deux nombres positifs. Si \( x \) est le carré de \( y \), alors \( y \) est \ldots de \( x \). On a \( \sqrt{x} \times \sqrt{y} = \ldots \) et \( \frac{\sqrt{\ldots}}{x} = \ldots \) une expression conjuguée du nombre \( x - \sqrt{y} \) : \ldots

    2. Recopie chacune des affirmations suivantes et dire si elle est vraie (V) ou fausse (F).

    
        a) Le nombre \( 2\sqrt{27} - 5\sqrt{3} \) est égal à \( -3\sqrt{27} + 3 \).
        b) \( \sqrt{1} - \sqrt{4} + 3 = \) est égal à 0.
        c) \( |3 - \pi| = -3 + \pi \).
        d) \( \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8} \).
    

PARTIE B:

On donne 
\[
x = \frac{2 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} ; \quad 
y = 3\sqrt{18} + \sqrt{128} - \sqrt{338} - \sqrt{3} - \sqrt{5} \times \sqrt{3} + \sqrt{5} 
\quad \text{et} \quad 
z = \sqrt{2} - 3.
\]

    3. Rendre rationnel le dénominateur de \( x \).
    4. Écrire \( y \) sous la forme de \( a\sqrt{b} + c \) avec \( a \) et \( c \) des entiers et \( b \) soit le plus petit entier naturel possible.
    5. Calculer \( z^2 \). En déduire que 
    \[
    p = \frac{6 - \sqrt{8}}{\sqrt{99 - 54\sqrt{2}}}
    \]
    est un rationnel que l’on déterminera.

EXERCICE 2: (04.5 points)

On donne les expressions suivantes
\[
A(x) = (2x - 3)^2 - (3 - 2x)(x - 2) \quad \text{et} \quad B(x) = 4x^2 - (6x - 9)(x - 1) - 9
\]

   1. Développe, réduis puis ordonne : \( A(x) \) \\   

   2. Factorise \( A(x) \) et \( B(x) \) \\   

   3. Résous dans \( \mathbb{Q} : A(x) = 15 \) et \( A(x) = B(x) \) \\

   4. Calcule \( m = A(-1 + \sqrt{3}) \) puis donne un encadrement de \( m \) à \( 10^{-1} \) près sachant que \( 1,732 < \sqrt{3} < 1,7330 \) 

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE 1: (04.5 points)

    1. Construis un triangle tel que \( AB = 10,4 \, \text{cm} \) ; \( AC = 9,6 \, \text{cm} \) et \( BC = 4 \, \text{cm} \)  
    2.   a) Enonce la réciproque du théorème de Pythagore. 
         b) Démontre que le triangle ABC est rectangle en un point que l’on précisera. 
            

    3. Place sur \([AB]\) le point \( D \) tel que \( AD = 7,8 \, \text{cm} \) puis construis le cercle (\( \odot D \)) de diamètre \([AD]\) qui coupe \([AC]\) en justifie que le triangle ALD est rectangle. \\
 

     
    
    4.   a) Calcule \( AE \) 
         b) Calcule \( LD \) de deux manières différentes. 
      
    

EXERCICE 2 : (4 points)

    1. On a : A, M et B alignés d'une part et A, N et C trois autres points alignés dans ce même ordre et \((MN) // (BC)\).\\
    D'après le théorème de Thalès : choisis la bonne réponse :
    \[
    \text{a) } \frac{AM}{AB} = \frac{AC}{AN} \qquad
    \text{b) } \frac{AC}{AN} = \frac{AB}{AM} \qquad
    \text{c) } \frac{AM}{AB} = \frac{BC}{MN}
    \]

     ADE est un triangle tel que \((BC) // (DE)\) et \((BF) // (DC)\).

    2.
        [a)] Justifie que les triangles ABC et ADE sont en positions de Thalès.
        [b)] Justifie que les triangles ABF et ADC sont en positions de Thalès.
    

    3. Montre que \(\displaystyle \frac{AF}{AC} = \frac{AC}{AE}\).

    4. Déduis-en que \(AC^2 = AF \times AE\).

    5. On donne \(AF = 1,5\,\text{cm}\) et \(AE = 9\,\text{cm}\). Montre que 
    \[
    AC = \frac{3\sqrt{6}}{2} \, \text{cm}.
    \]