Devoir de mathémathiques n° 2 du 1er semestre - 3e

Activités Numériques

Exercice 1 : 4 points

  1.  Calculer \( (3 - 2\sqrt{2})^2 \). Soit \( A = \sqrt{\dfrac{3 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}} \) ; Écris le plus simplement \( A \).   {2 points}

    2. Écris plus simplement \( B \) et \( C \).
    \[
    B = 10\sqrt{\frac{24}{25}} + 21\sqrt{\frac{150}{49}} - 7\sqrt{600}.
    \]
    \[
    C = \frac{\sqrt{2} - 2}{(-1 + \sqrt{2})^2 - 1}
    \]    {2 points}

Exercice 2 : 4 points

 1.    Résoudre les équations et inéquations suivantes.
    \[
    a = (x - 2)^2 - (x - 2) = 0
    \]
    \[
    b = |x - 2\sqrt{2}| = \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}
    \]
    \[
    c = (1 - x)^2 < 9
    \]  {3 points}

  2.   Encadre \( E = -5 - 2\sqrt{3} \) à \( 10^{-1} \) près sachant que \( 1,732 < \sqrt{3} < 1,733 \).     {1 point}

Activités géométriques

Exercice 1 : 5.5 points

 1.    Cette pyramide est-elle régulière ? Justifie ta réponse.  {0.5 point}

  2. Montre que \( EF = 9\sqrt{2} \, \text{cm} \).   {1 point}

  3.  Sachant que la hauteur \( SE = 10 \, \text{cm} \), calcule SG.     {0.5 point}

   4. Calcule le volume de cette pyramide.   {0.5 point}

   5.  On sectionne cette pyramide par un plan parallèle à sa base telle que la section \( E_1F_1G_1H_1 \) ait une aire de \( 72 \, \text{cm}^2 \).
    
        a) Montre que le coefficient de réduction \( k = \dfrac{2}{3} \).
        b) Calcule l’aire du triangle \( SE_1F_1 \).
        c) Calcule le volume de la pyramide réduite.
    

Exercice 2 : 6.5 points

ABC est un triangle avec \( AB = 12\,\text{cm} \) ; \( AC = 6\,\text{cm} \) et \( BC = 6\sqrt{3}\,\text{cm} \).

    1. Montre que ABC est un triangle rectangle. {0.5 point}

     2. Soit \([CH]\) la hauteur issue de C dans ce triangle.
    
        a) Montre que \(\widehat{BAC} = 60^\circ\). {1 point}
        [b)] Montre que \(AH = 3\,\text{cm}\).         {1 point}
    

    3. Soit I milieu de \([AB]\). Justifie que AIC est un triangle équilatéral. {0.5 point}

    4. La droite parallèle à \((AC)\) passant par H coupe \([BC]\) en K. 
    5. Calcule \(BK\) puis \(KH\). {1.5 point}

    6. Trace le cercle de centre I passant par A ; la droite \((AK)\) recoupe le cercle en M.
    
        a) Calcule, avec justification, \(\widehat{AMC}\). {1 point}
        b) Calcule, avec justification, \(\widehat{BMC}\). {1 point}