COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES DU SEMESTRE 1 - 3e

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

EXERCICE 1: (04 points)

    1. 
    
        a. Soit \( x \) et \( y \) deux réels tels que \( y > 0 \). Alors \( \sqrt{x^2 y} = \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \)  (0,5 point)
        
        b. L’expression \( A = -9x^2 + 4 \) est : choisis la bonne réponse
        \[ A = (-3x + 2)(-3x - 2) ; \quad A = (-3x + 2)(3x + 2) ; \quad A = (3x - 2)(3x + 2) \]  (1 point)
        
        c. La solution de l’inéquation \( x - \sqrt{2} \geq 0 \) est : choisis la bonne réponse
        \[ S_1 = ]-\infty; -1 - \sqrt{3}] ; \quad S_2 = [-1 - \sqrt{3}; +\infty[ ; \quad S_3 = ]-\infty; 0] \]  (1 point)
    
    
    2. On considère :
    \[ A = -2x + \sqrt{45} ; \quad B = \frac{2\sqrt{5} - 1}{-\sqrt{5} + 2} \quad \text{et} \quad C = (2 + \sqrt{3})(2\sqrt{3} - 1) + \sqrt{(3 - 2\sqrt{3})^2} \]
    
        a. Rendre rationnel le dénominateur de \( B \).  (0,5 point)
        b. Trouve \( x \) pour que les nombres \( A \) et \( B \) soient opposés.  (1 point)
        c. Simplifie \( C \).  (1 point)
        d. Donne un encadrement à 0,01 près de : \( -8 - 3\sqrt{5} \), sachant que \( 2,236 < \sqrt{5} < 2,237 \).  (1 point)
    

EXERCICE 2: (04 points)

    1. Résous le système suivant :
    \[ \begin{cases} 
    30x - y + 10 = 0 \\ 
    35x - y - 15 = 0 
    \end{cases} \]  (1 point)
    
    2. Pour faire une sortie des élèves, votre école a loué plusieurs cars. En mettant 30 élèves par car, il restera 10 élèves qui n’auront pas de places. En mettant 35 élèves par car, l’un des cars ne contiendra que 20 élèves.
    
    En posant par \( X \) le nombre de cars et \( Y \) le nombre d’élèves ; établis les équations liant \( X \) et \( Y \) puis trouve le nombre de cars et le nombre d’élèves.  (1,5 points)
    
    3. Résous graphiquement le système :
    \[ \begin{cases} 
    x + y - 2 \leq 0 \\ 
    2x - y + 4 \geq 0 
    \end{cases} \]  (1,5 points)

 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

EXERCICE 1: (05 points)

 Trace un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de diamètre \(EF = 8\,cm\). \\
La médiatrice \((\Delta)\) du segment \([EF]\) coupe le cercle en \(G\) et \(H\).

1. Justifie que \(EFG\) est un triangle rectangle et isocèle en \(G\)  (1pt)
2. Montre que \(EG = 4\sqrt{2}\,cm\)  (0,5pt)
3. Détermine la mesure de \(\widehat{GEF}\).  (0,5pt)
4. La bissectrice de l’angle \(\widehat{GEF}\) coupe le cercle en \(P\), calcule \(\widehat{POF}\)  (1pt)
5. Place les points \(M \in [EF]\) et \(N \in [FG]\) avec \(FM = \sqrt{2}\,cm\) et \(FN = 2\,cm\).

    a. Justifie que : \((MN) \parallel (OG)\)  (1pt)
    b. Calcule \(MN\).  (1pt)

Figure = (1pt)}

EXERCICE 2: (04 points)

1. Si on sectionne un cône de révolution au quart de sa hauteur à partir de sa base, alors le coefficient de réduction est compté :.................................. (0,5pt)

2. La génératrice \(g\) d’un cône de révolution mesure \(50\,cm\) ; le rayon \(r\) est la moitié de sa hauteur \(h\).
Calcule le rayon \(r\) et la hauteur \(h\).  (0,5 + 0,5 = 1pt)

3. Pour confectionner 5 bancs en ciment devant la porte de l’école COURS PRIVÉS DABAKH, le directeur choisit un modèle ayant la forme d’un tronc de pyramide régulière dont les bases sont des carrés de côtés respectifs \(80\,cm\) et \(40\,cm\).

    a. Fais un schéma à l’échelle \(\frac{1}{20}\)  (1pt)
    b. Calcule le volume de ciment nécessaire pour un banc sachant que la hauteur du banc est \(60\,cm\).  (1,5pt)