Correction concours miss sciences 2e S - mai 2022

Épreuve mathématique  

Exercice 1

Pour chaque énoncé, quatre réponses $A$, $B$, $C$ et $D$ sont proposées dont une seule est exacte.

Pour répondre tu écris sur ta copie le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la réponse choisie.

Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse.

Chaque réponse juste est notée $1$ point.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline N^{\circ}&\text{ Enoncés }&\text{Réponsess}\\ \hline &\text{ L'ensemble solution de l'équation }&A\ :\ \\ &\left(1-\sqrt{2}\right)x^{2}-2\sqrt{2}x-2-2\sqrt{2}=0\text{ est :}&B\ :\ {\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}\;,\dfrac{2\sqrt{2}+1}{2}}\\ 1&&C\ :\ -2-\sqrt{2}\\ &&D\ :\ -2+\sqrt{2}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : C

Le discriminant $\Delta$ est égal à : $$\left(-2\sqrt{2}\right)^{2}-4\left(1-\sqrt{2}\right)\left(-2-2\sqrt{2}\right)$$

Après calcul et simplification, on trouve que $\Delta=0$

L'équation a  donc une unique solution (racine double) : 

$\begin{array}{rcl} x_{0}&=&-\dfrac{b}{2a}\\&=&-\dfrac{\left(-\sqrt{2}\right)}{2\left(1-\sqrt{2}\right)}\\&=&-\sqrt{2}-2 \end{array}$

Rendre rationnel le dénominateur en multipliant par l'expression conjuguée.

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\text{Soit }A\;,B\text{ et }C\text{tels que }\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}.&A\ :\ \dfrac{3}{2}\\ &\text{Dans le repère }\left(C\;,\overrightarrow{CA}\right)&B\ :\ \dfrac{2}{3}\\ 2&\text{l'abscisse du point }B\text{ est :}&C\ :\ \dfrac{1}{3}\\ &&D\ :\ \dfrac{-1}{3}\\ \hline \end{array}$ 

Bonne réponse : Erreur !

On cherche le réel $k$ tel que $\overrightarrow{CB}=k\overrightarrow{CA}.$ D'après la relation vectorielle donnée :
$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CA}$$

Soit : $\overrightarrow{CB}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

Morale : Aucune des réponses proposées n'est juste. 

Sans doute une erreur de l'énoncé. 

Je pense que comme réponses $C$ et $D$, ils auraient dû proposer $\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{1}{2}.$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\text{Soit }EFGH\text{ un parallélogramme }&A\ :\ {E\;,1)\ ;\ (F\;,1\ ;\ (H\ ;\ 1)}\\ &\text{Le point }G\text{est barycentre du système :}&B\ :\ {(E\;,1)\ ;\ (F\;,1)\ ;\ (H\;,-1)}\\ 3&&C\ :\ {(E\;,-\sqrt{3})\ ;\ (F\;,\sqrt{3})\ ;\ (H\;,\sqrt{3})}\\ &&D\ :\ {(E\;,-1)\ ;\ (F\;,-1)\ ;\ (H\;,1)}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : C

On a $\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{GE}$

$G$ est le barycentre de ${(E\;,-1)\ ;\ (F\;,1)\ ;\ (H\;,1)}$ ou encore par homogénéité, en multipliant tous les coefficients par $\sqrt{3}$, celui de ${(E\;,-\sqrt{3}\ ;\ (F\;,\sqrt{3})\ ;\ (H\;,\sqrt{1})}$
 

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\text{Dans }\mathbb{R}\;,\text{l'ensemble des solution de }&A\ :\ ]-\infty\;,+\infty[\\ &\left(1-\sqrt{3 }\right)x^{x}-2\left(1+\sqrt{3}\right)x-5-3\sqrt{3}\leq 0\text{ est }&B\ :\ \emptyset\\ 4&&C\ :\ \left]-\infty\;,-2+\sqrt{3}\right[\cup\left]-2+\sqrt{3}\;,+\infty\right[\\ &&D\ :\ -2-\sqrt{3}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : A

$$\left(-2-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\left(1-\sqrt{3}\right)\left(-5-3\sqrt{3}\right)=0$$

Ce trinôme a donc une racine double 

$\begin{array}{rcl} x_{0}&=&-\dfrac{b}{2a}\\&=&-\dfrac{\left(-2-2\sqrt{3}\right)}{2(1-\sqrt{3})}\\&=&-2-\sqrt{3} \end{array}$

Le trinôme est donc du signe de $a=1-\sqrt{3}<0$ partout sur $\mathbb{R}$ sauf en $x_{0}$ où il est nul.

On en déduit que le trinôme est $\leq 0\forall x\in\mathbb{R}.$ par suite : $S=\mathbb{R}$
 

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &\text{Dans }\mathbb{R}\;,\text{l'ensemble des solution de }&A\ :\ \emptyset\\ &\text{l'équation }|x+\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\sqrt{2}\text{ est :}&B\ :\ (2-\sqrt{5}+\sqrt{2})\ ;\ -2\sqrt{2}\\ 5&&C\ :\ 2(\sqrt{5-\sqrt{2)}}\ ;\ 2\sqrt{2}\\ &&D\ :\ {-2\sqrt{2}}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : A

Le membre de droite de l'équation est négatif car $\left(\sqrt{5}\right)^{2}=5$ est inférieur à $\left(2\sqrt{2}\right)^{2}=8$

L'équation n'admet donc aucune solution, puisqu'une valeur absolue n'est jamais négative.

$S=\emptyset$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline&\text{Dans }\mathbb{R}\;,\text{l'ensemble des solution }&A\ :\ -\sqrt{3}\ ;\ \sqrt{3}\ ;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\ ;\ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}\\ &\dfrac{3}{x^{4}}-\dfrac{7}{x^{2}}+2=0&B\ :\ \sqrt{3}\ ;\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 6&&C\ : \dfrac{-1}{4}\ ;\ \dfrac{1}{4}\ ;\ 9\ ;\ -9\\ &&D\ :\ \emptyset \\ \hline \end{array}$

 Bonne réponse : A

On commence par multiplier les deux membres par $x^{4}$ pour se ramener à l'équation bicarrée : $$2x^{4}-7x^{x}+=0$$

En faisant le changement d'inconnue $X=x^{2}$, on voit que ses solutions sont : $x=\sqrt{3}$,

$x=-\sqrt{3}$,

$x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$,

$x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &&A\ :\ -5+7\sqrt{3}\\ 7&\text{L'expression }&B\ :\ -5-11\sqrt{3}\\ &\sqrt{4(2-\sqrt{3})^{2}}-3\sqrt{9(1-\sqrt{3})^{2}}&B\ :\ -5-11\sqrt{3}\\ &\text{est égale à\ :\ }&C\ :\ -5-7\sqrt{3}\\ &&D\ :\ 13-11\sqrt{3}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : D

L'expression est égale à :

$\begin{array}{rcl} 2|2-\sqrt{3}|-9|1-\sqrt{3}|&=&\\2\left(2-\sqrt{3}\right)-9\left(\sqrt{3}-1\right)\\&=&13-11\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline &&A\ :\ 0.001\text{ près}\\ 8&\text{Soit }x\text{un réel tel que :}1.238<x<1.251&B\ :\ 0.01\text{ près}\\ &1.24\text{ est une valeur approchée de }x\text{ à :}&C0.1\text{ près}\\ &&D\ :\ 0.002\text{ près}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : B

Le centre de l'intervalle $[1.238\ ;\ 1.251]$ est $\dfrac{1.238+1.251}{2}=1.24445$ et son rayon est $r=\dfrac{1.238-1.251}{2}=0.0065$

La réponse $B$ est la plus proche de cette dernière valeur

Exercice 2

Soit une droite $(D)$, $A$, $B$ deux point distinets de $(D)$ ; $a$ et $b$ deux nombres réels tel que $0<a<b$

1. Montrer qu'il existe deux points $E$ et $F$ de la droite $(D)$ tels que $E$ est barycentre des points $(A\;,a)$ et $(B\;,b)$ et $F$ le barycentre  des points $(A\;,a)$ et $(B\;,-b)$

Les hypothèses faites sur $A$ et $B$ entraînent que les sommes de coefficients $a+b$ et $a-b$ sont non nulles.

Donc les barycentres $E$ et $F$ existent bel et bien. 

Ils sont forcément sur la droite $(AB)$ car le barycentre de deux points pondérés est toujours alignés avec ces deux points

2. La droite $(D)$ est munie du repère $\left(A\;,\overrightarrow{AB}\right)$

a. Calculer en fonction de $a$ et $b$ l'abscisse de chacun des points $E$ et $F$

b. En déduire que $\dfrac{\overline{EA}}{\overline{EB}}-\dfrac{\overline{FA}}{\overline{FB}}$

La définition vectorielle du barycentre entraîne que : $\overrightarrow{AE}=\dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$, donc $E$ a pour abscisse $\dfrac{b}{a+b}$ dans le repère $\left(A\;,\overrightarrow{AB}\right).$

De même, le point $F$ a pour abscisse $-\dfrac{b}{a-b}$ dans ce même repère.

b. Toute relation vectorielle de colinéarité se traduit par une relation analogue entre les mesures algébriques (avec le même coefficient de colinéarité).

On a donc $\overline{AE}=\dfrac{b}{a+b}\overline{AB}$ soit en introduisant $E$ dans $\overline{AB}$ par la relation de CHASLES sur les mesures algébriques : $\dfrac{\overline{EA}}{\overline{EB}}=-\dfrac{b}{a}$

De même, $\overline{AF}=\dfrac{b}{b-a}\overline{AB}$ donne, en introduisant F par la relation de CHASLES dans $\overline{AB}\ :\ \dfrac{\overline{FA}}{\overline{FB}}=\dfrac{b}{a}$ 

Il est résulte qu'on a bien : 

$\dfrac{\overline{EA}}{EB}=-\dfrac{\overline{FA}}{\overline{FB}}$

4. Démontrer que $A$ est barycentre des points $(E\;,a+b)$, $(F\;,a-b)$

5. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que

$\dfrac{1}{a+b}\left|\left|a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}\right|\right|=\dfrac{1}{b-a}\left|\left|a\overrightarrow{MA}-b\overrightarrow{MB}\right|\right|$

4. Les relations précédentes permettent d'écrire : 

$\overrightarrow{AB}=\dfrac{a+b}{b}\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}=\dfrac{b-a}{b}\overrightarrow{AF}$

Puisque $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$ 

(évident), on alors : $(a+b)\overrightarrow{AE}=(b-a)\overrightarrow{AF}$, soit

$(a+b)\overrightarrow{AE}+(a-b)\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{0}$

Ainsi $A$ est bien le barycentre de ${(E\;,a +B)\ ;\ (F\;,a-b)}$

5. La relation proposée équivaut, d'après la propriété de réduction d'un barycentre, à :

$\dfrac{1}{a+b}\left|\left|(a+b)\overrightarrow{ME}\right|\right|=\dfrac{1}{b-a}\left|\left|(a-b)\overrightarrow{MF}\right|\right|$

D'après les hypothèses de l'énoncé sur $a$ et $b$, on en déduit que : $ME=MF$

L'ensemble cherché n'est autre que la médiatrice du segment $[EF]$

Exercice 3

Sur la figure ci-dessous $ABCD$ représente un jardin rectangulaire tel que $AB=20\;,m$ et $BC=10\;,m$

Le propriétaire M Diagne veut aménager aménager une bande de largeur $x$ mètre auteur du rectangle comme indiqué en grié sur cette figure.

M Diagne veut que l'aire de cette bande soit inférieure à la moitié de l'aire du rectangle $ABCD$

Déterminer pour M Diagne les valeur de $x$

Réponse

Aire de la bande =AIRE DU RECTANGLE $ABCD$-Aire du rectangle blanc $$=20\times10-(10-2x)(20-2x)=60x-4x^{2}$$

Le souhait de M. Diagne est que l'on ait : 

$60x-4x^{2}<100\;,$ soit : $4x^{2}-60x+100<0$ ou encore $x^{2}-15x+25<0\Longleftrightarrow\;,x\in\left[\dfrac{15-5\sqrt{5}}{2}\ ;\ \dfrac{15+5\sqrt{5}}{2}\right]$, soit en valeur approchée $$-1.9<x<13.09$$

Comme $x$ est positif et inférieur à $5$, les valeurs de $x$ sont $0<x<5$