Exercice 1

— Comparaisons

Comparer les nombres $x$ et $y$, sans utiliser de machine, dans chacun des cas :

a) $x = 3\sqrt{5}; y = 2\sqrt{11} $;

b) $x = 3 + 2\sqrt{2}; y = 2 +\sqrt{13}$ ;

c) $x =\sqrt{8} +\sqrt{5}; y =\sqrt{7} +\sqrt{6} $;

d) $x = 2\sqrt{3} +\sqrt{7}; y =\sqrt{11} + 2\sqrt{3}$ ;

e) $x = 5 + 2\sqrt{3}; y = 4 + 2\sqrt{5}$ ;

f) $x =\sqrt{5} +\sqrt{7}; y =\sqrt{12} + 2\sqrt{35} ;$

3.1 Objectifs et prérequis

Objectifs. Consolider les notions vues en Première. 

À la fin du chapitre, l'élève sait :

$\bullet\ $déterminer le cardinal d'une réunion, d'une intersection, d'un complémentaire, à l'aide de schémas ; 

$\bullet\ $organiser un dénombrement avec un arbre, un tableau à double entrée ou
un diagramme ;

1. Définitions

Il existe deux catégories de nombres réels :

— les nombres réels positifs, dont l’ensemble est noté $\mathbb{R^{+}}$ ;

— les nombres réels négatifs, dont l’ensemble est noté $\mathbb{R^{-}}$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. 

On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$ (notation $a \leq b$) si et seulement si $a - b$ est un nombre réel négatif, c’est-à-dire un élément de $\mathbb{R^{-}}$.

Dans ce cas, on dit aussi que b est supérieur ou égal à a.

Exercice 1 

— Corrigé détaillé

Calcul de $X$. 

On commence par simplifier séparément le numérateur et le dénominateur :

$\dfrac{8}{3}− 2 +\dfrac{1}{2}−\dfrac{4}{3}+ \dfrac{5}{2} −\dfrac{3}{7} −\dfrac{2}{5}+ 1$.

Pour éviter toute erreur de dénominateur commun, prenons $210$ :

$\dfrac{8}{3}= \dfrac{560}{210}, −2 = −\dfrac{420}{210},\dfrac{1}{2}= \dfrac{105}{210}, −\dfrac{4}{3} = −\dfrac{280}{210}$,

2.1 Objectifs et pré requis

Objectifs. 

À la fin du chapitre, l'élève sait :

$\bullet\ $effectuer la division euclidienne d'un polynôme $P$ par un polynôme $Q$

$\left(\deg P\geq Q\;,\deg P\leq 4\right)$

$\bullet\ $diviser $P(x)$ par $(x-a)$ lorsque $P(a)=0$, puis le quotient par $(x-b)$ lorsque $P(b)=0$ ;

1. Calcul numérique

Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous forme de fraction irréductible :

$X =\dfrac{\dfrac{8}{3}− 2 + \dfrac{1}{2} −\dfrac{4}{3}+ \dfrac{5}{2} − \dfrac{3}{7}− \dfrac{2}{5}+ 1}{\dfrac{3}{2}− \dfrac{4}{7}− 1}$ ,

a. Définitions

Définition (nombre dérivé)

1. $f$ est dérivable au point $x_{0}$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\dfrac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=t\in\mathbb{R}$

Le nombre $\ell$ est appelé nombre dérivé de $f$ au point $x_{0}$ et on écrit : $\ell=f'\left(x_{0} \right)$

1. Ensembles de nombres 

Pour chacun des nombres suivants, trouver le plus petit ensemble de nombres $N, Z, D, Q$ ou $R$ auquel il appartient : 

a) $−18; 1,25; 7; 2π; −0,6666...; 0$. 

b) $− \dfrac{28}{5} ; \dfrac{3,1416}{π} ; \dfrac{901}{53} ; \dfrac{676}{2} ; \dfrac{53}{27}$ . 

c)$ 1,234567891011...; 246,81012...$ 

d) $−4,7×103; \dfrac{3}{2} ;\dfrac{ 1,111111... }{9}$

e) $1357,91357...; \dfrac{21}{560} ; \dfrac{2π}{5} ;\dfrac{ ( . \sqrt{7} +4)(\sqrt{7}−4)}{3} ; \dfrac{π+3}{π +1}$ .