Exercice 0.1 : 

On considère l’application $$\begin{array}{rcl}
f : \mathbb{R} &→&\mathbb{R}\\
. x &→ &x^{2} − 4x + 5\end{array}$$

1. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(2 − x) = f(2 + x)$.

b. L’application $f$ est-elle injective? 

Justifier. 

2. a. Montrer que $∀x ∈ \mathbb{R} : f(x) ≥ 1$. 

b. L’application $f$ est-elle surjective?

 justifier.

Exercice : 01 

Soient $A$ et $B$ deux points d’une droite$ ( \Delta ), a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $0<\alpha<b$

1. Démontrer qu’il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
${(A a), (B,b )}$ et $D$ soit le barycentre des points des points ${(A a), (B,-b )}$ .

2. Préciser la position de ces points par rapport aux points $A$ et $B$ .

3. La droite $(\Delta )$ est muni d’un repère $( A , B )$ . 

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.

a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$

b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$

c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$

d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$

2.a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$