1. Calcul numérique

Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous forme de fraction irréductible :

$X =\dfrac{\dfrac{8}{3}− 2 + \dfrac{1}{2} −\dfrac{4}{3}+ \dfrac{5}{2} − \dfrac{3}{7}− \dfrac{2}{5}+ 1}{\dfrac{3}{2}− \dfrac{4}{7}− 1}$ ,

$Y =\left(\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{3}{5}−\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{5}−\dfrac{3}{4} +\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{4}\right)÷\left(\dfrac{2}{5} +\dfrac{5}{6}\right)\left(\dfrac{2}{5}−\dfrac{5}{6}\right)^{2}$
.
Conserver exactement les parenthèses et les priorités indiquées dans l’énoncé original.

2. Puissances

a) Soient $a, b, c$ des réels non nuls.

Mettre sous la forme $a^{n}$, ou $a^{n}b^{p}$, ou $a^{n}b^{p}c^{q}$ les réels suivants :

$A =\dfrac{ a^{5}}{a^{8}}\left(\dfrac{a}{a^{4}}\right)^{−2}, B =\dfrac{ a^{−2}a^{3}a^{5}}{a^{−4}a^{3}a^{2}}$ ,

$C = \dfrac{a^{2}a^{4}}{(a^{3})^{−2}a^{5}} , D = (a^{3}b)^{3}(a^{2}b)^{−1}$,

$E =\dfrac{ a^{−2}b^{−5}}{a^{3}b^{−2}} , F = \dfrac{(a^{2}b)^{3}b^{−2}c^{3}}{a^{2}c(bc^{2})^{2}}$ ,

$G =\dfrac{(a^{2}b)^{−3}(bc^{3})^{2}(a^{−2}b^{5}c)^{3}}{(b^{2}c^{2}a)^{−4}(a^{−1}b^{6})^{2}} , H =\dfrac{(a^{−2}c)^{−4}(−b^{2}c)^{5}(a^{3}bc^{−1})^{−2}}{(−a^{2}b−3c)^{3}(−b)^{4}(a−5c)^{2}}$ .

b) Écrire sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}$, avec $m, n, p ∈ Z$, les réels :

$X =\dfrac{ (0, 09^{−3}(0, 16)^{2} 25}{(0, 0075)^{−1} 8^{10}} , Y =\dfrac{ (−6)^{4} 30^{−2}(−10)^{−3} 15^{4}}{(−25)^{2} 36^{−5}(−12)^{3}}$ .

b) Écrire sous la forme $2m^{3}n^{5}p$, avec $m, n, p ∈ Z$, les réels :

$X = \dfrac{(0, 09)^{−3}(0, 16)^{2} 25}{(0, 0075)^{−1} 810} , Y =\dfrac{ (−6)^{4} 30^{−2}(−10)^{−3} 15^{4}}{(−25)^{2} 36^{−5}(−12)^{3}}$ .

3. Développement

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A = (a + b)^{3} + 2(a^{3} + b^{3}) − 3(a + b)(a^{2} + b^{2})$,

$B = (3x + 2y)^{3} + (3x − 2y)^{3}$,

$C = (3x^{2} − 2y + z)^{2}$,

$D = (a + b)^{4} + a^{4} + b^{4} − 2(a^{2} + ab + b^{2})^{2}$,

$E = (x − y)(x + y − z) + (y − z)(y + z − x) + (z − x)(z + x − y)$,

4. Factorisation

Factoriser les expressions suivantes :

$A = (a^{2} + b^{2} − 9)^{2} − 4a^{2}b^{2}, B = (a^{2} + b^{2} − 5)^{2} − 4(ab + 2)^{2}$,

$C = (ax + by)^{2} − (ay + bx)^{2}, D = (ax + by)^{2} + (ay − bx)^{2}$,

$E = a^{4} − b^{4} + 2ab(a^{2} − b^{2}) − (a^{3} − b^{3}) + ab^{2} − a^{2}b$,

$F = a^{2}(x^{2} + b^{4}) − b^{2}(x^{2} + a^{4})$,

$G = (a^{2}b^{2} + x^{2}y^{2}) − (b^{2}x^{2} + a^{2}y^{2})$,

$H = 9x^{2} − 12x + 4 + (x − 3)^{2} − (2x + 1)^{2}$,

$I = (x + y)^{3} − x^{3} − y^{3}, J = 16x^{2} + 8xy − 4xz − 2yz$.

5. Fractions algébriques

Les dénominateurs étant supposés non nuls, écrire le plus simplement possible les réels suivants :

$A = \dfrac{1}{2x(2x − 1) }+\dfrac{2x}{2x − 1} + \dfrac{2x − 1}{2x}$,

$B = \dfrac{a}{(a − b)(a − c)} + \dfrac{b}{(b − c)(b − a) }+\dfrac{c}{(c − a)(c − b)}$,

$C =\dfrac{ xy}{ab}+\dfrac{(x − a)(y − a)}{a(a − b) }+\dfrac{ (x − b)(y − b)}{
b(b − a) }$,

$D =\dfrac{ a − \dfrac{a−b}{1+ab}}{1 + \dfrac{a(a−b)}{1+ab}}$,

$E =\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b+c}\right)÷\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b+c}\right)×
\dfrac{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a+c}}{\dfrac{1}{b}−\dfrac{1}{a+c}}$.

6. Racines carrées

Simplifier :

$A = (\sqrt{8} −\sqrt{18})(√50 −√72 +√32)$,

$B =\dfrac{√3 + √2}{√3 −√2}+\dfrac{√3 −√2}{√3 + √2}$,

$C =√3(√3 − 2)^{2} −√4(1 −√3)^{2}$,

$D =√6 +√6 +√6 +√9$,

$E = \dfrac{3√2}{√3 + √6} −\dfrac{4√3}{√6 + √2}+\dfrac{√6}{√2 + √3}$,

$F = (\sqrt{x + y} + \sqrt{x − y})(\sqrt{x + y} −\sqrt{x − y})$,

$G =\dfrac{\sqrt{a + b} + \sqrt{a − b}}{\sqrt{a + b} - \sqrt{a − b}}$,

$H =\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}\sqrt{2 −\sqrt{2} + \sqrt{2}}}$.

7. Rationalisation

Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :
$x =\dfrac{√5}{√20}, y =\dfrac{√15 −√3}{√6 − 1}$ ,

$z = \dfrac{3 + √5}{1 −√5} −\dfrac{1 − 2√5}{1 + √5} , s = \dfrac{1}{√2 + √3 + √4}, t = \dfrac{1}{√7 − 2√5 + √3}$.

8. Racines et valeur absolue

Soient $a$ et $b$ deux réels de même signe et non nuls. 

Calculer la valeur de

$\sqrt{1 + x^{2}}$ pour $x = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)−\left(\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)$.

9. Expression à paramètre

Calculer, lorsqu’il existe, le carré de

$A = a +\sqrt{a^{2} − b^{2}} + a −\sqrt{a^{2} − b^{2}}$.

10. Problème de racines

Montrer que si $a, a′, b, b′, c, c′$ sont positifs et vérifient

$\dfrac{a}{a′} = \dfrac{b}{b′} = \dfrac{c}{c′}$ ,

alors $\sqrt{aa′} +\sqrt{bb′} +\sqrt{cc′} =\sqrt{(a + b + c)(a′ + b′ + c′)}$.

11. Mise sous la forme $√x ±√y$

Mettre les nombres 
$\sqrt{11 − 2√30},\sqrt{7 − 2√10},\sqrt{8 + 4√3}$

sous la forme $√x + √y$ ou $√x −√y, x$ et $y$ étant des entiers naturels. 

En déduire la valeur de

$A = \dfrac{1}{11 − 2\sqrt{30}}−\dfrac{3}{7 − 2\sqrt10}}−\dfrac{4}{8 + \sqrt{3}}$.

12. Produit télescopique

1) Calculer, pour tout entier $n ≥ 2$ :

$A =\left(1 + \dfrac{1}{n − 1}\right)\left(1 −\dfrac{1}{n}\right)$.

2) Calculer

$B =\left(1 −\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1 −\dfrac{1}{3^{2}}\right)
\left(1 −\dfrac{1}{4^{2}}\right)$

3) Calculer en fonction de $n$ :

$x_{n} =\left(1 −\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1 −\dfrac{1}{3^{2}}\right)
...\left(1 −\dfrac{1}{n^{2}}\right)$.

4) Donner la valeur de 

$\left(1 −\dfrac{1}{2^{2}}\right)\left(1 −\dfrac{1}{3^{2}}\right)
...\left(1 −\dfrac{1}{2000^{2}}\right)$.

13. Identité algébrique

Soient $a, b, c$ trois réels non nuls tels que
$ab + bc + ca = 0$.

Calculer

$S = \dfrac{b + c}{a}+ \dfrac{c + a}{b}+ \dfrac{a + b}{c}$.

14. Somme de cubes

Soient $a, b, c$ trois réels :

1) Développer $(a + b + c)(ab + bc + ca)$ puis $(a + b + c)^{3}$.

2) Démontrer que si $a + b + c = 0$, alors $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$.

3) En déduire que, pour tous réels $x, y, z$ :

$(x − y)^{3} + (y − z)^{3} + (z − x)^{3} = 3(x − y)(y − z)(z − x)$.

15. Rationalisation télescopique

Soit $n$ un entier naturel.

Écrire sans radical au dénominateur :
$\dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + √n}$.

En déduire une expression simple de
$1 + \dfrac{1}{\sqrt{2 + √1}+ \dfrac{1}{\sqrt{3 + √2}}+ · · · + \dfrac{1}{√100 + √99}}$.

16. Exercices de synthèse

Simplifier les expressions suivantes :

$A = \dfrac{a^{2}}{(a − b)(a − c) }+ \dfrac{b^{2}}{(b − c)(b − a)} + \dfrac{c^{2}}{(c − a)(c − b)}$,

$B = \dfrac{a^{3}}{(a − b)(a − c) }+ \dfrac{b^{3}}{(b − c)(b − a)} + \dfrac{c^{3}}{(c − a)(c − b)}$,

$C =\left(b\sqrt{\dfrac{a}{b}}− a\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^{2}$,

$D =\left(\dfrac{m^{2} − 1}{m^{2} + 1}^{2}\right)+\left(\dfrac{2m}{m^{2} + 1}\right)^{2}$,

$E =\sqrt{\dfrac{8^{10} + 4^{10}}{8^{4} + 4^{11}}} $,

$F =\sqrt{\dfrac{3 + √5}{3 −√5}}+\sqrt{\dfrac{3 −√5}{3 + √5}}$,

$G =\sqrt{\dfrac{3 + 2√2}{3 −2√2}}+\sqrt{\dfrac{3 −2√2}{3 +2√2}}$,

$H = \dfrac{1}{(x + y)^{2}}\left(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\right)+ \dfrac{2}{(x + y)^{3}}\left(\dfrac{x + y}{xy}\right)$.

17. Notation scientifique

Écrire, dans chacun des cas suivants, le réel A sous forme scientifique :

a) $9 196 317 70$; b) $27 000 000 000 000$;

c) $0, 000 007 277$; d) $12 420 000$;

e) $0, 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 662 62$,

cette dernière valeur étant donnée comme constante de Planck en joule seconde dans le document source.

18. Retour à l’écriture décimale

Écrire, dans chacun des cas suivants, le réel $B$ sous forme décimale :

a) $4, 168 × 10^{−3}; b) 6, 429793 × 10^{−2}$;

c) $2, 051738 × 10^{2}; d) 264, 5872 × 10^{−6}$;

e) $5, 258 × 106; f) 37, 00025 × 10^{−1}$.

19. Calculs scientifiques

Dans chacun des cas suivants, calculer le réel $C$ et donner le résultat sous forme scientifique :

a)$ 124, 2 × 10^{−6} × 58 000 000$,

b) $(0, 00002451)^{2} × 1 524 000$,

c)$ 4, 29 × 9, 465 × 126 × 10^{12}$,

d)$ 299 792, 2 × 365, 242 × 3600 × 24$.

N.B. L’expression du d) est la distance, en kilomètres, parcourue par la lumière en une année (année-lumière).

20. Proportionnalité

Quatre nombres $a, b, c, d$ (pris dans cet ordre) sont dits former une proportion lorsque

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$.

$a$ et $d$ sont les termes extrêmes de la proportion ; $b$ et $c$ en sont les termes moyens.

1) Soit la proportion $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . 

Montrer que
$\dfrac{a}{b}= \dfrac{c}{d}= \dfrac{a + c}{b + d}=\dfrac{ a − c}{b − d}$,
et plus généralement
$\dfrac{a}{b}= \dfrac{c}{d}= \dfrac{ka + lc}{kb + ld}$,

quels que soient les réels $k$ et l pour lesquels les quotients sont définis.

2) Démontrer que si $a, b, c, d$ forment une proportion, il en est de même de $a^{2}, b^{2}, c^{2}, d^{2}$, d’une
part, et de $ab, cd, (a + b)^{2}, (c + d)^{2}$, d’autre part. 

Étudier les réciproques.

3) On appelle quatrième proportionnelle à trois nombres a, b, c le nombre d tel que
$\dfrac{a}{b}= \dfrac{c}{d}$.

Calculer les quatrièmes proportionnelles aux nombres :

$\left(\dfrac{4}{3},−\dfrac{2}{5},−5\right),\left(\dfrac{1}{4}, 8, 25\right),\left(−\dfrac{1}{3}, 5, 4\right)$.

4) On appelle moyenne proportionnelle à deux nombres $a$ et $b$ le nombre positif $x$ tel que
$\dfrac{a}{x}= \dfrac{x}{b}$.

On donne quatre nombres réels $m, n, p, q$ tels que $\dfrac{m}{n} = \dfrac{p}{q}$ . 

Démontrer que la moyenne proportionnelle de $mn$ et $pq$ est
$\dfrac{mq + pn}{2}$ .

La réciproque est-elle exacte ?

5) Étant donnés deux réels $a$ et$b$, on considère le nombre $h$ tel que
$\dfrac{1}{h}= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}\right)$.

$h$ est appelé moyenne harmonique de $a$ et $b$.

a) Démontrer que les nombres $a − h, h − b, a$ et $b$ sont en proportion (supposer $a ̸= b$).

b) La réciproque est-elle exacte ?

6) Une horloge sonne six heures du matin en six secondes. 

En combien de temps sonne-t-elle midi ?

7) Un berger a de quoi nourrir $6$ vaches pendant $60$ jours. 

Pendant combien de temps pourrait-il nourrir $8$ vaches ?

8) Une poule et demie pond un oeuf et demi en un jour et demi.

Combien d’oeufs pondront douze poules en douze jours ?

9) Le prix d’un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de $0, 45 g$ vaut $5 000 000 F$.

a) Combien coûte un diamant de $0, 693 g$ ?

b) Quel est le poids d’un diamant valant $3 000 000 F$ ?

10) Problème de Newton : $75 $boeufs se sont nourris pendant $12$ jours dans un pré de $60$ ares avec l’herbe qui y était et celle qui a poussé depuis ;

$81$ boeufs se sont nourris pendant $15$ jours dans un pré de $72$ ares avec l’herbe qui y était et celle qui a poussé depuis. 

On demande combien de boeufs pourra nourrir, dans les mêmes conditions, un pré de 96 ares.
Notes : l’herbe pousse régulièrement ; la réponse indiquée dans le document source est $100$ boeufs.