Épreuve de mathématique - 1er 1s

Exercice 1

On considère l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2mx+m-5=0$

1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l'existence et le signe des racines de $(E)$

2. Déterminer $m$ pour que $(E)$ ait deux racines $x'$ et $x''$ vérifiant $-1<x'<1<x''$

3. Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$

4. Former l'équation du second degré ayant pour racines $\left(3x'-2\right)$ et $(3x''2)$

5. En déduire $m$ pour que l'on ait : $3x'-2=1$

6. Déterminer $m$ pour que l'inégalité $(m+1)x^{2}+2mx+m-5<O$ soit vérifié $\forall m$

Exercice 2

1. Déterminer un polynôme $P(x)$ degré $6$, divisible par $(x-1)^{3}$ et tel que $1+P(x)$ soit divisible par $x^{4}$

Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$

Quel est le degré polynôme :

$Q(x)=P(x)-P(x-1)$ ?

On considère s'il en existe des polynômes $f(x)$ tels que $f(O)=O$ et $f(x)-f(x-1)=x^{k}$

a. Prouver que $f(x)$ est degré $k+1$

b. Prouver que $f(x)$ est divisible par $x^{2}+x$

c. Déterminer le polynôme $f(x)$ pour le cas $k=3$

d. Déduis l'expression en fonction de $n$ de la somme : $S=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}$

Exercice 3

Soit $(C)$ et $\left(C'\right)$ deux cercles sécants en deux points $A$ et $B$

On choisit un point $C$ sur $(C')$, ces points étant distincts de $A$ et $B$

Un point $P$ décrit le cercle $(C)$

La droite $(PA)$ coupe le cercle $\left(C'\right)$ en un point $Q$ ; lorsque $P$ est en $A$, on considère que le droite $(PA)$ est la tangente en $A$ à $(C)$

1. Montrer que $\left(\overrightarrow{BC}\;,\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{PC}\;,\overrightarrow{QD}\right)(\pi)$

2. En déduire que $(PC)$ et $(QD)$ sont sécantes en un point $R$ si et seulement si $C$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés 

3. On suppose $B$, $C$ et $D$ non alignés

Montrer que $\left(\overrightarrow{RC}\;,\overrightarrow{RD}\right)=\left(\overrightarrow{BC}\;,\overrightarrow{BD}\right)(\pi)$

4. En déduire l'ensemble décrit par $R$ quant $P$ décrit $(C)$

Exercice 4

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=\alpha$ et $AC=2\alpha$ ; $I$ désigne le milieu de $[AC]$ et $G$ barycentre de $(A\;,3)$, $(B\;,-2)$ et $(C\;,1)$

On complétera la figure au fur et à mesure

1. Construire le point $G$ et préciser la nature du quadrilatère $ABIG$ 

2. Exprimer en fonction de a les distances $GA$, $GB$ et $GC$ 

3. A tout point $M$ du plan, on associe maintenant le nombre réel : $f(M)=3MA^{2}-2MB^{2}+MC^{2}$

a. Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $\alpha$

b. Déterminer et construire $(\Gamma)$ l'ensemble des M du plan tel que $f(M)=2\alpha^{2}$

4 A tout point $M$ du plan, on associe maintenant le nombre réel : $h()=3MA^{2}-2MB^{2}-MC^{2}$

a. Démontrer qu'il existe un vecteur $\overrightarrow{U}$ non nul tel que $h(M)=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{U}-2\alpha^{2}$

b. On désigne par $(\Delta)$ l'ensemble des $M$ du plan tel que $h(M)=-2a^{2}$

Vérifier que les points $I$ et $B$ appartiennent à $(\Delta)$ et préciser la nature de cet ensemble. 

Construire $(\Delta)$

5. $(\Gamma)$ et $(\Delta)$ sont sécants en deux ponts $E$ et $F$

Monter que les triangles $GEC$ et $GFC$ sont équilatéraux.