Évaluation : Devoir n° 2 du premier semestre - 1er S1
Exercice 1
Soient $A$, $B$ et $C$ trois éléments donnés de $\mathcal{P}_{E}$
1. A quelle condition peut-on trouver des éléments $X$ de $\mathbb{P}_{E}$ tels que $A=B\cap X$ ?
2. A quelle condition peut-on trouver des éléments $Y$ de $\mathcal{P}_{E}$ tels que $A=B\cup Y$ ?
3. Montrer qu'il n'existe pas d'éléments $X$ ni d'éléments $Y$ de $\mathbb{P}_{E}$ tel que $A=B\cup X=E$ ou $A\cap Y=\theta$ ?
4. Démontrer que $\left. \begin{array}{rcl} A\cup B & \subset & A\cup C\\ A\cap B & \subset & A\cap C
\end{array} \right\rbrace \Longrightarrow B\subset C $
5. Si $E$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $0\leq x\leq 4$, montrer que l'ensemble $E^{2}$ peut être représenté géométrique par l'ensemble des points non extérieurs à un carré de côté $4$ construit sur deux rectangulaires $Ox$ et $Oy$
Exercice 2
Soit $ABCD$ un parallélogramme et soit $G$ le barycentre du système $\left\lbrace (A\;,3)\ ;\ (B\;,)\ ;\ (C\;,3)\ ;\ (D\;,2)\right\rbrace$
1. Construire les barycentres $E$ et $F$ des systèmes respectifs
$\left\lbrace (A\;,3)\ ;\ (B\;,)\ ;\ (C\;,3)\ ;\ (D\;,2)\right\rbrace$
2. Démontrer que $G$ est le milieu de $[EF]$ ; puis construire le points $G$
3. Soit $I$ le milieu de $[AC]$ et $J$ le milieu de $[BD]$, démontrer que $(EF)$ et $(IJ)$ sont sécantes
Problèmes : dénombrement pour ligne de niveau
Partie A
Soit $A$, $B$, $C$ trois ensembles, Démontrer la formule de Poincaré :
1. card $(A\cup B\cup C)=\text{card }A+\text{card }B+\text{card }C-\text{card }(A\cap B) -\text{card }(A\cap C)-\text{card }(B\cap C)+\text{card}(A\cap B\cap C)$
Parmi $40$ secrétaires : $-8$ parlent le russe, $15$ l'anglais et $8$ l'espagnol
$-5$ parlent le russe et l'anglais
$-2$ parlent le russe et l'espagnol
$-2$ parlent les trois langues
En notant $RU$ : l'ensemble des secrétaires parlent le russe, $ANG$ : l'ensemble des secrétaires parlant l'anglais et $ESP$ : l'ensemble des secrétaires parlant l'espagnol
2. Combien de secrétaires parlent au moins une des trois langues ?
3. Combien de secrétaires ne connaissent aucun de ces trois langues ?
N.B On pourra d'aider de la formule de Poincaré.
Partie B
Dans le plan $\mathcal{P}$ on considère le triangle rectangle $ABC$, d'hypoténuse $[B\;,C]$ de longueur $2a$
Soit $f$ l'application :
$M\rightarrow\overrightarrow{f(M)}=\left[\text{card }(ESP)\cup ANG\cup RU)-22\right]\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+m\overrightarrow{MC}\;,m\in \mathbb{R}$
1. Déterminer $m$ pour que $\overrightarrow{f(M)}$ soit un vecteur constant $\overrightarrow{v_{o}}$ et calculer $\overrightarrow{v_{o}}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
2. On prend $m=-1$ et $\text{card }(ESP\cup ANG \cup RU)=26$
Démontrer que le barycentre $G$ du système $(A\;,4)$, $(B\;,-1)$, $(C\;,1)$ est le symétrique par rapport à $A$ du milieu $I$ de $[B\;,C]$
3. Déterminer la nature de l'ensemble
$\mathbb{C}_{1}=\left\lbrace M\in\mathcal{P}/2\text{card}(ESP\cup ABG\cup RU)MA^{2}-MB^{2}-MC^{2}=-4a^{2}\right\rbrace$
$(\text{On remarque que }A\in\mathbb{C})$
4. Déterminer la nature des ensembles
$\mathbb{C}_{2}=\left\lbrace M\in\mathcal{P}/4MA^{2} \dfrac{\text{card}\left(\overrightarrow{ESP}\cap\overrightarrow{ANG}\cap\overrightarrow{RU}\right)}{14}MB^{2}-3MC^{2}+4a^{2}\right\rbrace$
$\mathbb{C}_{3}=\left\lbrace M\in\mathcal{P}/\dfrac{MA}{MB}=\text{card}(ESP\cap ANG\cap RU)\right\rbrace$