$3^{ème}$ édition des olympiades nationales de mathématiques

Question 1 :

Pour combien d'entiers naturels non nuls $n$ le nombre $n^{2}-3n+2$ est-il un nombre premier ?

a. aucun

b. un

c.deux

d. plus de deux, mais un nombre fini

e. une infinité

Question 2 :

Quelle est la différence entre la somme des $2024$ premiers nombres pairs et la somme des $2023$ premiers nombres impairs ?

a. $0$

b. $1$

c. $2$

d. $2023$

e. $4046$

Question 3:

Soit $f$ une fonction vérifiant : $f(xy)=\dfrac{f(x)}{y}$ pour tous nombres réels $x$ et $y$ strictement positifs.

Si $f(500)=3$, quelle est la valeur de $f\left(\dfrac{4}{3}\right)$ ?

a. $1000$

b. $1120$

c. $\dfrac{3}{4}$

d. $1125$

e. $\dfrac{5}{8}$

Question 4 :

Quel est le produit de tous les entiers impairs positifs inférieurs à $10000$ ?

a. $\dfrac{10000!}{(5000)!)^{2}}$

b. $\dfrac{10000!}{2^{5000}}$

c. $\dfrac{9999!}{2^{5000}}$

d. $\dfrac{10000!}{2^{5000}\times 5000!}$

e. $\dfrac{5000!}{2^{5000}}$

Rappel : pour $n\in\mathbb{N}^{\ast}\quad n!=1\times 2\times\ldots\ldots\times n$ et $0!=1$

Question 5 :

Un cercle de centre $A$ et de rayon $1$ et un cercle de centre $B$ et de rayon de $4$ sont tangents  extérieurement.

Un troisième cercle est tangent aux deux premiers et à l'une de leurs tangentes communes extérieures, comme l'indique la figure

ci-dessous.

Quel est le rayon du troisième cercle ?

a. $\dfrac{1}{3}$

b. $\dfrac{2}{5}$

c. $\dfrac{5}{12}$

d. $\dfrac{4}{9}$

e. $\dfrac{1}{2}$

Question 6 :

Dans le rectangle $ABCD$, les points $F$ et $G$ sont sur le segment $[AB]$ tels que $AF=FG=GB$

$E$ est le milieu de $[DC]$ De plus, $[AC]$ coupe $[EF]$ en $H$ et $[EG]$ en $J.$
 
Si l'aire du rectangle $ABCD$ est de $70\,cm^{2}$, quelle est l'aire du triangle $EHJ$ ?

a. $3\,cm^{2}$

b. $10\,cm^{2}$

c. $\dfrac{35}{9}\,cm^{2}$

d. $5\,cm^{2}$

c. $6\,cm^{2}$