3ème devoir de mathématique du 1er semestre - 1er S
Exercice 1
1. Résoudre dans $\mathbb{R}\sqrt{x^{2}+2x-3}\leq 2x+1$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$ : $\left(m^{2}-1\right)\left(-2x^{2}+3x-1\right)< 0$
Exercice 2
1. Soit $P(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1$ ; $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ et $H(x)=2x^{3}+3x^{2}+x$
a. Factoriser $H(x)$
b. En déduire que $P(x)$ est divisible par $H(x)$
c. Déterminer le quotient de la division euclidienne de $P(x)$ par $H(x)$ pour $n=2$
2. Montrer que $(x-1)^{2}$ divise $nx^{n+2}+(n+2)x-n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$
Exercice 3
Une application $f$ : $E\rightarrow$ est dite involutive si $f^{\circ} f=id_{E}$ c'est-à-dire $\left(f^{\circ} d\right)(x)=x$ pour tout $x\in E$
1. 1. Montrer qu'une application involutive $f$ est injective et surjective.
Conclure.
2. Montrer que $f$ est involutive si et seulement si $f$ est bijective et $f^{-1}=f$
3. Soit $m\in ]-1\ ;\ 1[$, on appelle application de Dr FALL toute application notée $f_{m}$ définie par :
$f_{m}\ :\ ]-1\ ;\ 1[\rightarrow]-1\ ;\ 1[$
$x\mapsto\dfrac{x-m}{mx-1}$
a. Démontrer qu'une application de Dr FALL est involutive.
En déduire qu'une application de Dr FALL est bijective puis déterminer sa bijection réciproque.
b. Montrer par le calcul qu'une application de Dr FALL est injective et surjective
Exercice 4
Soit $ABC$ un triangle n'ayant que des angles aigus.
On pose $AB=c$ ;
$BC=a$ et
$AC=b$
On note $H$, le projeté orthogonal de $A$ sur $[BC]$
1.a. Montrer que $HB=c\cos\overbrace{B}$ et $HC=b\cos\overbrace{C}$
b. En déduire que $HB=\dfrac{c \cos \overbrace{B}}{b \cos \overbrace{C}}HC$
c. Déduire de $b.$ que $H=\bar{ y \left(B\ ;\ b\cos \overbrace{C}\right)\ ;\ \left(C\ ;\ c\ cos
\overbrace{B}\right)}$
d. Montrer que $H=\bar{ y{B\ ;\ a^{2}+b^{2}-c^{2})\ ; (C\ ;\ c^{2}-b^{2})}}$ (On pourra utiliser le théorème de al-kashi)
2. Pour tout $M$ du plan, on pose $\overrightarrow{U(M)}=-2a^{2}\overrightarrow{MH}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\overrightarrow{MC}$
a. Vérifier que $\overrightarrow{U(H)}=\overrightarrow{U(H)}$ pour tout point $M$ du plan
b. Calculer $\overrightarrow{U(H)}$ puis conclure.