Chapitre 1 composition des applications - TL

1.1 Objectifs et pré-requis

Objectifs. A la fin du chapitre, l'élève sait : 

$\bullet\ $Calculer $\left(g^{\circ} f\right)(x)$ pour des fonctions simples :

$\bullet\ $déterminer l'ensemble de définitions de $g^{\circ}f$ ; 

$\bullet\ $décomposer une fonction en composée de deux fonctions simples ;

$\bullet\ $résoudre des équations et des inéquations faisant intervenir une composé

Pré-requis.Image d'un réel, ensemble de définition, fonctions affines, $x\rightarrow x^{2}$, $x\rightarrow \dfrac{1}{x}$, $x\rightarrow \sqrt{x}$, $x\rightarrow |x|$
équations et inéquations du premier et du second degré tableaux de signes

1.2 cours 

1.21 Rappels :  ensembles de définition usuels
$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Expression de }f(x)&\text{Condition d’existence}\\ \hline
\text{Polynôme }&\text{aucune :}\mathbb{D}_{f}=\mathbb{R}\\ \hline \dfrac{u(x)}{v(x)}&v(x)=\neq 0\\
\hline \sqrt{u(x)}&u(x)\geq 0\\ \hline |u(x)|&\text{celle de }u(x)\\ \hline \end{array}$$

1.2.2 Définition de la composée

Définition

Soit $f$ une fonction de domaine $\mathbb{D}_{f}$ et $g$ une fonction de domaine $\mathbb{D}_{g}$ La composée de $f$ suivie de $g$, notée $g^{\circ}f $(lire « $g$ rond $f$ »), est la fonction définie par :
$$\left(g\circ f\right)(x)=g(f(x))$$

On calcule d'abord $f(x)$, puis on applique $g$ à ce résultat. 

La notation se lit de droite à gauche.

1.2.3 Ensemble de définition de $g\circ f$

Propriété

$\mathbb{D}_{g\circ}f=\left\lbrace x\in \mathbb{D}_{f}\text{ tels que }f(x)\in\mathbb{D}_{g}\right\rbrace$

Il faut donc deux conditions : $x$ doit appartenir au domaine de $f$, et $f(x)$ doit appartenir au domaine de $g$

1.2.4 Propriétés

Propriété p1 (non commutativité)

En général, $g\circ f\neq f\circ g$

Démonstration

Contre-exemple : avec $f(x)=x+1$ et $g(x)=x^{2}$, on a $f(x)=(x+1)^{2}$ et $\left(f\circ g)(x)=x^{2}+1\right)$

Pour $x=1$, on obtient $4$ et $2$, donc $g\circ f\neq f\circ g$

Propriété  P2 (associativité)

Pour trois fonctions $f$, $g$, $h$ : $\left(h\circ g\right)\circ f=h\circ(g\circ g)$, que l'on ,note $h\circ g\circ f$

Démonstration. Les deux membres valent $h(g(f(x)))$

Propriété $P3)$ (composée de deux fonctions affines)

Si $f(x)=ax+b$ et $g(x)=cx+d$, alors $g^{\circ} f$ est affine : $\left(g\circ f\right)(x)=(c\alpha)x+(cb+d)$

Démonstration. $g(f(x))=c(aax+b)+d=cax+cb+d$

Propriété p4 (parité)

Si $f$ est paire, alors $g\circ f$ est paire.

Démonstration. Si $x\in\mathbb{D}_{g\circ f}$, alors $-x\in\mathbb{D}_{f}$ 

$(f\text{ est paire }$ et $f(-x)=f(x)\in\mathbb{D}_{y}$, donc $-x\in\mathbb{D}_{g\circ f}$

De plus $(g\circ f)(-x)=g(f(-x))=g(f(x))=\left(g\circ f)(x)\right)$

1.2.5 Méthodes

Méthode $M1$ : calculer $(g\circ f)(x)$

On remplace la variable de $g$ par l'expression de $f(x)$, puis on simplifie

Méthode $M2$ : trouver $(g\circ f)(x)$

1. Écrire $\mathbb{D}_{f}$

2. Écrire la condition "$f(x)\in \mathbb{D}_{y}$

Résoudre (équation, inéquation, tableau de signes) et conclure par l'intersection des conditions.

Méthode $M3$ : décomposer $h$ en $g\circ f$

On pose $f=f(x)$, on exprime $x$ en fonction de $f$ puis on remplace dans $g\circ f$