Chapitre 2 : Limites et continuité - Ts2

A limites

a. Limites des fonctions de référence

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Fonction }&\text{Ens. de déf}&\text{Lim. en }0&\text{Lim. en }+\infty&\text{Lim en }-\infty\\ \hline x\mapsto x^{n}(n\text{ pair})&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&+\infty\\
\hline x\mapsto x^{n}(n\text{impaire })&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&-\infty\\ \hline
x\mapsto \dfrac{1}{x}&]-\infty\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[&\lim_{0^{-}}=-\infty\;,\lim_{0^{+}}=+\infty&0&0\\
\hline x\mapsto \sqrt{x}&[0\;,+\infty[&0&+\infty&\text{imposs}\\ \hline x\mapsto \dfrac{\sin x}{x}&]-\infty\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[&1&0&0\\ \hline x\mapsto \dfrac{1-\cos x}{x^{2}}&]-\infty\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[&\dfrac{1}{2}&0&0\\ \hline \end{array}$

b. Opérations sur les limites

Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient : on utilise les règles usuelles (limite finie + limite
finie, $\infty+\infty$, etc.), en retenant les quatre formes indéterminées : $+\infty-\infty\;,0\times \infty\;,\dfrac{\infty}{\infty}\;,\dfrac{0}{0}$

Remarques :

$\bullet\ $Certaines fonctions n'ont pas de limite en $x_{0}\left(\text{ex\ :\ }x\mapsto\dfrac{1}{x}\text{ en }0\right)$

$\bullet\ $Certaines fonctions n'ont pas de limite au voisinage de $+\infty\left(\text{ex\ :\ }\sin\right)$

Théorème 1 (limite d'une composée)

Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $\alpha$, $L^$, $L'$ trois réels $\left(\text{éventuellement }+\infty\text{ ou }-\infty\right)$ Si  

$\lim\limits_{x\rightarrow \alpha}f(x)=L$ et 

$\lim\limits_{t\rightarrow L}g(t)=L'$

alors $\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g[f(x)]=L'$

c. Théorème de comparaison

Théorème 2 (Théorème des gendarmes)

Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions telles que, pour $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}g(x)=\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}h(x)=L$ alors $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=L$

Théorème 3

Soient $f.g$ deux fonctions

$\bullet\ $Si, pour $x$ assez grand, $f(x)\geq g(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x)=+\infty$, alors $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

$\bullet\ $Si, pour $x$ assez grand, $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}g(x)=-\infty$, alors $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

Remarque :

ces théorèmes restent valables au voisinage de $-\infty$ ou d'un réel $x_{0}$

B. Continuité 

a. Définition 

$f$ est une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $x_{0}$

$f$ est continue en $x_{0}\Longleftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f(x)f=\left(x_{0}\right)$

b. Prolongement par continuité

Si $f$ est non définie en $x_{0}$ et admet une limite $L$ en $x_{0}$ 

La fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)$ pour
$x\in D_{f}\;,s\neq x_{0}$, et $g\left(x_{0}\right)=L$ est appelée prolongement pour continuité de $f$ en $x_{0}$

c. Continuité sur un intervalle

$f$ est continue sur $]a\;,b[$ si et seulement si elle est continue en tout point de $]a\;,b[$

Remarque : $f$ continue à droite de $\alpha\Rightarrow \lim\limits_{x\longrightarrow a^{-}}f(x)=f(a)\ ;\ f$ continue à gauche de $b\Rightarrow \lim\limits_{x\longrightarrow b^{-}}f(x)=f(b)$

d. Continuité de la composée de deux fonctions

Propriété 1

Soit $f$ définie sur intervalle $I$ et $g$ définie sur un intervalle $J$ tel que $f(I)\subset J.$

Soit $x_{0}\in I.$

Si $f$ est continue en $x_{0}$ et $g$ continue en $f\left( x_{0}\right)$, alors $g^{\circ}f$ est continue en $x_{0}$

Propriété 2

Soit $f$ définie sue $I$ et $g$ définie sur $J$ tel que $f(I)\subset J$

Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ continue sur $J$, alors $g^{\circ} f$ est continue sur $I$

e. Image d'un intervalle par une fonction continue 

Propriété 3

L'image d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ par une fonction continue est un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$

Si de plus $I=[a\;,b]$, alors $J=f(I)$ est aussi fermé e borné

Cas d'une fonction continue et strictement monotone sur $I$ : L'image $f(I)$ de $I$ s'obtient en remplaçant chaque borne de $I$ par sa limite (ou son image) correspondante, en respectant le sens de variation (croissante : on gade l'ordre : décroissante : on inverse l'ordre )

f. Théorème des valeurs intermédiaires

Propriété 4 $(TYI)$

Si $f$ est  continue sue $[a\;,b]$, alors pour tout $\alpha$ compris entre $f(a)$ et $ff(b)$, il existe au moins un $c\in[a\;,b]$ tel que $f(c)=\alpha$

Propriété 5

Si $f$ est continue sur $[a\;,b]$ et $f(a)f(b) < 0$, il existe au moins au $c\in]a\;,b[$ tel que $f(c)=0$

propriété 6

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\;,b]$ et $f(a)f(b) <0$, il existe un unique 
$c\in]a\;,b[$ tel que $f(c)=0$

g. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone

Définition (bijection)

$f$ est bijective de $I$ vers $J\Longleftrightarrow f$ est à la fois injective et surjective et surjective de $I$ vers $J$

$\bullet\ f$ surjective de $I$ vers $J\Longleftrightarrow \forall y\in J\;,\jmath x\in I\;,f(x)=y$

$\bullet\ f$ injective de $I$ vers $J\Rightarrow(f(x)=f(y)\Rightarrow x=y)$

Propriété 7

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ vers $f(I)$ et admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur $(I)$, à valeur dans $I$, telle que : $\forall x\in I\;,\forall y\in f(I)\;,f(x)=y\Rightarrow x=f^{-1}(y)$

Propriété 8

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, sa bijection réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(f)$ et $a$ le même sens de variation que $f$

Remarque : On repère orthogonal, les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à  la droite $y=x$

Pour tout $x\in I\;,\left(f^{-1}\circ{°}f\right)(x)=x$ ; pour tout $y\in J\;,\left(f\circ{°}f^{-1}\right) (y)=y$

Calculs de limites

Exercice 14 (limite d'une fonction en $x_{0}$

Justifier les limites suivantes (en utilisant les limites de référence du cours et les théorèmes sur les opérations sur les limites finies) :

1. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(x^{3}-3x+5\right)=3$

2. $\lim\limits_{x\rightarrow -1}\left(2x^{2}+x-2\right)=-1$

3. $\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{3x+1}{x-3}=-7$

4. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac{1}{5}$

5. $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{2x^{2}+x-7}{x^{2}+3}$

6. $\lim\limits_{x\rightarrow \pi/6}\left(3\sin x+1\right)=\dfrac{5}{2}$

7. $\lim\limits_{x\rightarrow 5}\sqrt{x-1}=2$

Exercice 15 (extension de la notion de limite)

1. Déterminer la limite pour $x\rightarrow +\infty$, pour $x\rightarrow -\infty$, de la fonction $f$, dans les cas suivants :

a. $f\ :\ x\mapsto x^{23}-3x+1$

b. $f\ :\ x\mapsto \left(x^{3}-x\right)\left(x+1\right)$

c. $f\ :\ x\mapsto x^{2}+|x-3|$

d. $f\ : \ x\mapsto 2x^{2}-|5x+4|$

e. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{2x^{2}-x}{x+3}$

f. $x\mapsto\dfrac{x+1}{x^{2}+2}$

g. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{3}-3x}{x^{3}+x+2}$

h. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

2. Déterminer la limite quand $x\rightarrow x_{0}$ de la fonction $f$ dans les cas suivants :

a. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1}{x-1}\;,x_{0}=1$

b. $ :\ x\mapsto\dfrac{-3}{x^{2}-4}\;,x_{0}=-2$ et $x_{0}=2$

c. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{2}+x+3}{(x+3)^{2}(x-2)}\;,x_{0}=-3$ et $x_{0}=2$

d. $f\ :\ x\mapsto \tan x\;,x_{0}=\left(2k+1\right)\dfrac{\pi}{2}$

e. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{2}{1+\cos x}\;,x_{0}=\pi$

f. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{3}{1+2\sin x}\;,x_{0}=-\dfrac{\pi}{6}$

Exercice 16 (Levée d'indétermination)

Déterminer les limes des fonctions suivantes : 

1. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{x^{3}+3x-4}{x-1}$ en $1\;,-\infty\;,+\infty$

2. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x^{x}+4x+4}{x^{3}+8}$ en $-2\;,-\infty\;,+\infty$

3. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{1+x^{2}}-x$ en $-\infty$, $+\infty$

4. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{\sqrt{3+x}-2x}{x-1}$ en $1\;,+\infty$

5. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{x^{3}+6x+7}{3x^{2}-x-4}$ en $-1$, $+\infty$

6. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{1+x}-x$ en $+\infty$

7. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ en $1$, $+\infty$

8. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-2}}{x-3}$ en $3$, $+\infty$

9. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{3x+2}-\sqrt{11x-6}}{x-\sqrt{x+3}+1}$ en $1$

10. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}+x+3}-3}{x^{2}+x-6}$ en $2$

11. $f\ :\ x\mapsto x\sqrt{\dfrac{2x}{x+1}}-2x$ en $-\infty$, $+\infty$

12. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{x^{2}+x+3}-3}{x^{2}+x-6}$ en $2$

13. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+4x+3}-x$ en $+\infty$

14. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}+4x+3}-(x+2)$ en $+\infty$

15. $f\ :\ x\mapsto \sqrt{x^{2}+4x+3}+x$ en $-\infty$

16. $f\ :\ x\mapsto \sqrt{x^{2}+4x+3}+x+2$ en $-\infty$

17. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{2x^{2}-3x+1}-\sqrt{x^{2}-3x+1}$ en $-\infty$, $+\infty$

18. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x^{2}+x+1}$

19. $f\ :\ x\mapsto x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ en $-\infty$, $+\infty$

20. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{3\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+4}}{\sqrt{x^{2}-9}-2\sqrt{x-1}}$ en $+\infty$

Exercice 17

(Limites latérales)

Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite à droite et à gauche en $x_{0}$ de la fonction $f$ : 

1. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{1-\cos x}{x-2x|x|}\;,x_{0}=0$

2. $f\ :\ x\mapsto\left\lbrace\begin{array}{rcl}
x^{3}-1\;,x&\leq& 0\\
x+1\;,x&>&
\end{array}\quad x_{0}=0\right.$

3. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x+x}{\sqrt{x}}\;,x_{0}=0$

4. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{|2x+1|}{2x+1}\;,x_{0}=-\dfrac{1}{2}$

5. $f\ :\ x\mapsto x\sqrt{(x-1)^{2}}$

Exercice 18

(limites latérales - suite

1. Montrer que, sur $\mathbb{R}^{+}$, on a $3\leq 4-\sin\dfrac{1}{x}\leq 5$

2. Montrer que, sur $]0\ ;\ 1[$, on a: $\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{4-\sin \dfrac{1}{x}}{x}$

3. Étudier la limite, à droite et à gauche, en $0$, de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{4-\sin \dfrac{1}{x}}{x}$

Exercice 19

(limite d'une fonction trigonométrique en $0$

Utiliser le résultat $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ pour étudier la limite éventuelle en $0$ des fonctions suivantes :

1. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 5x}{2x}$

2. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sin 3x}$

3. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin 5x}{\sin 4x}$

4. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{x}$

5. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan 2x}{\sin x}$

6. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{\sqrt{x}}$

7. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}$

8. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x-x}{\cos x-1}$

9. $f\ :\ \mapsto \dfrac{\sin x-x}{\cos x-1}$

10. $f\ :\ \mapsto\dfrac{\sin x-\tan x}{3x^{3}}$

11. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan 2x}{\sqrt{1-\cos x}}$

12. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{\sin^{2}\pi x}$

13. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1-\cos 4x}}{\sin 5x}$

14. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos^{2}x-\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x}-1}$

15. $f\ :\ \mapsto\dfrac{\sin\left(2x^{2}+x\right)}{x(x+1)}$

16. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}$

17. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\cos x}{\tan^{2}x}$

18. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x\left(1-\cos x\right)}{\sin 3x-3\sin x}$

19. $f\ :\ \mapsto\dfrac{2x-\sin x}{1-\cos x}$

20. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x+\sin x+\sin 2x}{x\left(x^{2}-1\right)}$

Exercice 20

(Limite d'une fonction trigonométrique en $x_{0}$

Déterminer les limites éventuelles en $x_{0}$ des fonctions suivantes

1. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin\left(2x-\pi\right)}{\tan^{2}(2x-\pi)}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

2. $x\mapsto\dfrac{\sin 6x}{2\cos x-\sqrt{3}}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

3. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan x}{\sin 2x-1}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{4}$

4. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)-\tan x}{1-\sin-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{4}$

5. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x}{5\cos^{2}x+\sin^{2}x-4\cos x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{3}$

6. $f\ :\ \mapsto\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)}{1-2\sin x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

7. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\tan\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin 2x-2+2\sin x-2\cos x}\;,x_{0}=-\dfrac{\pi}{3}$

8. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x-\cos x}{\pi}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{4}$

9. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{-\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{3}$

10. $f\ : \ x\mapsto\dfrac{\cos x-\sqrt{3}\sin x}{x-\dfrac{\pi}{6}}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{6}$

11. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{1-\sin x-\cos x}{1-\sin x+\cos x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

12. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{cos 3x}{1-2\sin x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{3}$

13. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x\sin x-\dfrac{\pi}{2}}{\cos x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

14. $f\ :\ \mapsto\dfrac{\sin x\left(1-\sin x\right)}{\cos x}\;,x_{0}=\dfrac{\pi}{2}$

Exercice 21 

(Utilisation de la limite d'une fonction composée)

Déterminer les limites éventuelles des fonctions suivantes au points considéré :

1. $f\ :\ x\mapsto\cos\dfrac{x+1}{x}$ en 
$+\infty$

2. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{\dfrac{2x^{2}-1}{x}}$ en $+\infty$

3. $f\ :\ \mapsto\sin\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}$ en $x_{0}=0$

4. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sin x+2}{x}$ en $+\infty$ et en $-\infty$

5. $f\ :\ x\mapsto\cos x-x$ en $+\infty$ et en $-\infty$

6. $f\ :\ x\mapsto 1+x^{2}\sin \dfrac{1}{x}$ en $0$

7. $f\ :\ x\mapsto x\sin\dfrac{1}{x}-2\dfrac{\sin x}{x}$ en $+\infty$

8. $f\ :\ x\mapsto x\sin\dfrac{1}{x}$ en $0$

Continuité et prolongement par continuité

Exercice 23

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la continuité de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :

1. $f\ :\ x\mapsto 3x+x-1$

2. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{2x+1}{2x-1}$

3. $f\ :\ x\mapsto \sqrt{x^{2}+5x-5}$

4. $f\ :\ x\mapsto|2x+1|+|x-3|$

5. $f\ :\ x\mapsto 2x+1\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x}$

6. $f\ :\ x\mapsto 1+\dfrac{|x|}{x}$

7. $f\ :\ x\mapsto E(x)$

8. $f\ :\ x\mapsto x-E(x)$

9. $f\ :\ x\mapsto (x-E(x))^{2}+E(x)$

10. $f\ :\ x\mapsto \sqrt{2x^{2}-||x+1}$

11. $f\ :\ x\mapsto\sqrt{x+\sqrt{1-x}}$

12. $f\ :\ x\mapsto\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x&\text{ si }&x&<& 0\\ x&\text{ si }&0&\leq&1\\
x^{2}&\text{ si }&x&>& \end{array}\right.$

Exercice 24

On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+1&\text{ pour }&x&\leq&1\\
3-ax^{2}&\text{ pour }&x&>& 1 \end{array}\right.$

Pour quelles valeurs de $\alpha$ réel la fonction $f$ est-elle continue en $x_{0}=1$ ?

Exercice 25

Déterminer les réels $A$ et $B$ pour que la fonction $f$ soit continue en $\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$ :

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} -2\sin x&\text{ pour }&x&\leq& -\dfrac{\pi}{2}\\
A\sin x+B&\text{&pour }&-\dfrac{\pi}{2}&<&x&<&\dfrac{\pi}{2}\\ \cos x&\text{ pour }&x&\geq&\dfrac{\pi}{2}
\end{array}\right.$

Exercice 26

Montrer que la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x^{3}-2x^{2}+x-2}{x-2}$ pour $x < 2$

$f(x)=5\sin \dfrac{\pi x}{4}$ pour $x\geq 2$ est continue sur $\mathbb{R}$

Exercice 27

Montrer que les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité en $x_{0}$ : 

1. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{x^{3}-x^{2}+2}{x-1}$ en $x_{0}=1$

2. $f\ :\ x\mapsto\dfrac{\sqrt{5x-1}-3}{x-2}$ en $x_{2}=2$

Exercice 28

1. Soit la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ 1]$ par :

$f(x)=6x^{2}+x+1$ pour $x\in\left[0\ ;\ \dfrac{1}{6}\right[$

$f(x)=\dfrac{6x+3}{2x+5}$ pour $x\in\left[\dfrac{1}{6}\ ;\ 1\right[$

$f$ admet-elle une limite en $\dfrac{1}{6}$ ? $f$ est-elle continue sur $[0\ ;\ 1]$ ?

2. Soit $g$ et $h$ les fonctions numériques définies sur $[0\ ;\ 1]$ par : $g(x)=\cos\left(3\pi x\right)$ et $h(x)=\cos\left(4\pi x\right)$

Montrer que la fonction $fg$ est continue sur $[0\ ;\ 1]$, mais qu'il n'en est pas de fonction $fh$

3. Si on sait que la produit de deux fonctions est une fonction continue sur $[a\ ;\ b]$, peut-on en déduire une conclusion quant à la continuité de chacune de ses fonctions ?

Exercice 29

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=3x^{2}+ax+1$ pour $x< 1\left(a\in\mathbb{R}\right)$

$f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ pour $x\geq 1$

Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit continue au point $1$ 

Exercice 30

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\left\lbrace 1\right\rbrace$ par : $f(x)=\dfrac{3x^{2}+ax+1}{x-1}\left(\alpha\in\mathbb{R}\right)$

Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit prolongeable par continuité au point $1$

Définir alors $g$, prolongement par continuité de $f$ au point $1$

Exercice 31

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-a}-1}{x+1}$

Déterminer $\alpha$ pour que $f$ soit prolongeable par continuité au point $-1$ 

Définir alors la fonction $g$, prolongement par continuité de $f$ au point $-1$

Exercice 32

Soit $\alpha$ un réel.

Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$, les limites éventuelles respectives en $-\infty$, $+\infty$, en $5$ de la fonction $f_{\alpha}\ :\ x\mapsto \dfrac{ax^{2}+\left(a^{2}+1\right)x+\alpha}{x-5}$

Cette fonction admet-elle un prolongement par continuité au point $5$ ?

Exercice 33

Soit $\alpha$ un réel et $f_{\alpha}$ la fonction : $x\mapsto \dfrac{2x^{2}+x-3}{x^{2}+(1-\alpha)x-\alpha}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f_{\alpha}$

2. Déterminer l'ensemble $E$ des réels $\alpha$, pour chacun desquels $f_{\alpha}$ admet un prolongement par continuité en $\alpha$

Pour chaque réel $\alpha$ de $E$, déterminer le prolongement par continuité de $f_{\alpha}$ en $\alpha$

Exercice 34

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{|x||x+1|}{(x+1)(x^{2}+x+1)}$

Peut-on définir un prolongement par continuité de $g$ au point $-1$ ?

Image d'un intervalle. 

Recherche de solutions d'équations

Exercice 35

Déterminer l'image de l'intervalle $I$ pour chacune des fonctions suivantes : 

1. $f\ :\ x\mapsto \sin x$ avec $I=\left[-\dfrac{\pi}{4}\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$

2. $f\ :\ x\mapsto \cos x$, avec $I=\left[-\dfrac{\pi}{4}\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\right]$

3. $f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x^{2}+1$, avec $I=\left]-\infty\ ;\ -1\right]$

4. $f\ :\ x\mapsto x^{3}-3x^{2}+1$, avec $I=\left[\dfrac{1}{2}\ ;\ 1\right]$

Exercice 36

Montrer que les fonctions suivantes sont bornées sur $I$ : 

1. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1}$ avec $I=\mathbb{R}$

2. $f\ :\ x\mapsto \dfrac{x-1}{x+1}$ avec $I=[2\ ;\ +\infty[$

Exercice 37

Soit $f\ :\ [0\ ;\ 6]\rightarrow \mathbb{R}\;,x\rightarrow\left|x^{2}-4x\right|$

1. Montrer que $f$ est continue sur $I=[0\ ;\ 6]$

2. Étudier les variations de $f$

Déterminer l'image de $I$ par $f$

3. Soit $m$ un réel appartenant à l'intervalle $[f(0)\ ;\ f(6)]$

Détermine, suivant les valeurs de $m$ le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$

Exercice 38

Soit $f\ :\ x\mapsto x^{2}-5x+10$

1. Montrer que $f$ est continue et strictement monotone sur $[-2\ ;\ 2]$

2. $f$ est-elle strictement monotone sur $[0\ ;\ 4]$ ?

3. Déterminer l'intervalle image par $f$ de $[0\ ;\ 2]$

Exercice 39

Soit $f\ :\ \mathbb{R}\Rightarrow\mathbb{R}\;,x\mapsto\dfrac{2x+3}{x-2}$

1. Déterminer l'ensemble $D_{f}$ de  définition 
de $f$ puis l'ensemble image $f\left(D_{f}\right)$

2. Montrer que $f$ est strictement monotone sur $]2\ ;\ +\infty[$

Quel l'ensemble image par $f$ de $]2\ ; \ +\infty[$ ?

3. Montrer que la striction $g$ de $f$ à $]2\ ;\ +\infty[$ est une bijection de $]2\ ;\ +\infty[$ sur lui-même 

calculer alors $g^{-1}(x)$

Exercice 40

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x^{2}+5x-100$

1. Montrer que $f$ est continue et strictement monotone sur $\mathbb{R}$ 

2. Quelle est l'image par $f$ de l'intervalle $[0\ ;\ 6]$ ?

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution et une seule $\alpha$ comprise entre $0$ et $6$

4. Encadrer $\alpha$ entre deux entiers consécutifs.

Exercice 41

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\ \pi[$ par : $f(x)=\cos x-x$

1. Montrer que $f$ est une bijection de $[0\ ;\ \pi($ sur un ensemble $J$ que l'on précisera.

2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution et une seul $\lambda$ comprise entre $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{4}$

Exercice 42

Dans chacun des cas suivants, justifier l'existence d'une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=0$ puis déterminer un encadrement à $10^{-2}$ près de $\alpha$

1. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f\ :\ x\mapsto x^{3}+3x^{2}+1$

2. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f\ :\ x\mapsto -x^{3}+3x^{2}+1$

3. $f$ est définie sur $]-\pi\ ;\ 0]$ par : $f\ :\ x\mapsto x\sin x+\cos x$

Exercice 43

Montrer que l'équation $x^{4}+4ax+b=0(a\text{ et }b\text{ réels }$ ne peut avoir plus de deux solutions distinctes dans $\mathbb{R}$

Exercice 44

Dans chacun des cas suivants, déterminer suivant les valeurs du paramètre réel $\alpha$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$

1. $f\ :\ x\mapsto x^{2}+ax+1$

2. $f\ :\ x\mapsto x^{3}+3ax+1$

3. $f\ :\ x\mapsto \cos x+\alpha$

Exercice 45

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1$

Déterminer, suivant les valeurs de $\lambda$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=\lambda$

Propriétés des fonctions continues

Exercice 46

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a\;,b]$ 

On suppose que $f(a)=g(b)$ et $f(b)=g(a)$

Démontrer qu'il existe un réel $c$ de $[a\ ;\ b]$ tel que $f(c)=g(c)$

Exercice 47

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\ ;\ b]$

Soient $p$ et $q$ des nombres réels strictement positifs.

Démontrer qu'il existe un réel $c$ de $[a\ ;\ b]$ tel que :
$$f(c)=\dfrac{p(a)+q(b)}{p+q}$$

Fonctions réciproques

Exercice 48

Dans chacun des cas suivants, établir que $f$ est une bijection et déterminer la bijection réciproque $f^{-1}$

1. $f\ :\ \mathbb{R}\;,x\mapsto \dfrac{x}{1+|x|}$

2. $f\ :\ [0\ ;\ 1]\rightarrow [-1\ ;\ 0]\;,x\mapsto x^{4}-2x^{2}$

3. $f\ :\ \mathbb{R}^{\ast}\diagdown\left\lbrace 1\right\rbrace\;,x\mapsto \dfrac{x-1}{x}$

Exercice 49

1. La fonction $f\ :\ x\mapsto \sin x$ est continues sur $\mathbb{R}$

Montrer que sa restriction à $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ considéré comme application de $\left[-\dfrac{\pi}{2}\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ vers $[-1\ ;\ 1]$, admet une fonction réciproque.

Cette fonction comme application de $[0\ ;\ \pi]$ vers $[-1\ ;\ 1]$, admet une fonction réciproque.

Cette fonction réciproque sera notée arc$\cos$

La fonction $f\ :\ x\mapsto\tan x$ est continue sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\ ;\dfrac{\pi}{2}\right] $

Montrer qu'elle admet sur cet intervalle une fonction réciproque.

2. Préciser l'ensemble de définition et de continuité de chacune des fonctions $\arcsin$, $\arcsin$ et $\arcsin$

Étudier la parité de ces fonctions.

3. Donner une expression simple de $\arcsin(\sin x)$, $\arccos(\cos x)$, $\arctan(\tan x)$

4. Donner une expression simple de $\sin(\arcsin x)$, $\cos(\arccos x)$, $\tan(\arctan (\tan x)$,$\sin(\arccos x)$, $\cos(\arcsin x)$

5. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$ : $\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$