Chapitre 5 : Inéquations et systèmes d'inéquations du 1er degré à 2 inconnues

Pré-requis

Régionnement du plan

Compétences exigibles

$\bullet\ $Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ une inéquation à deux inconnues du type indiqué Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$ un système de deux inéquations à deux inconnues des types indiqués.

$\bullet\ $Vérifier qu'un couple de réels est solution ou non d'une inéquation ou d'un système d'inéquations à $2$ inconnues des types indiqués.

1. Inéquation à deux inconnues du type : $ax+by+c\leq 0$

Activités préparatoires

Deux nombres $x$ et $y$ sont tels que le double du premier ajouté au second donne un nombre plus petit que $3.$

a. Traduis cette phrase par une inéquation :
$$2x+y<3$$

b. $2x+y<3$ est une inéquation du $1^{er}$ degré à deux inconnues

c. Pour résoudre graphiquement cette inéquation
 
$-\ $je trace la droite $(D)$ d'équation :

$2x+y=3$
 
Le plan est alors partagé en demi-plans $P_{1}$ et $P_{2}$ de frontière $(D)$

$-\ $Je remplace $x$ et $y$ par les coordonnées $(0\ ;\ 0)$ de l'origine $0$ dans $2x+y.$

J'obtiens:  $(0)+0=0$

Or : $0<3$, donc les coordonnées de l'origine $0$ vérifient l'inéquation.

J'en déduis que le demi-plan $P_{1}$, sans la frontière $(D)$, qui contient l'origine $0$ convient.

Le demi-plan $P_{2}$, avec la frontière $(D)$, ne convient pas : je le hachure.

Remarque : Si l'inégalité était au sens large $(\leq)$ ,la frontière $(D)$ allait faire partie de la solution

Trace écrite

Méthode graphique de résolution de $ax+by+c>0$
 
1. Tracer dans un repère la droite $(D)$ d'équation $ax+by+c=0$

2. Choisir un point M extérieur à la droite (généralement $0(0\;,0)$ si la droite ne passe par l'origine)

3. Déterminer si les coordonnées $\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ de $M_{0}$ sont solutions de l'inéquation $ax+by+c>0$
pour cela :

a. Calculer l'expression  $ax_{0}+by_{0}+c$

b. Comparer le résultat à $0$ :

Si $ax_{0}+by_{0}+c>0$   alors $\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ est une solution ; donc le demi-plan contenant         $M_{0}$ est solution

Si  $ax_{0}+by_{0}+c>0\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ alors n'est pas solution ; donc le demi-plan ne contenant pas $M_{0}$ est solution

4. Hachurer le demi-plan qui n'est pas solution

Méthode graphique de résolution de $ax+by+c>0$

1. Tracer dans un repère la droite $(D)$ d'équation $ax+by+c=0$

2. Choisir un point $M_{0}$ extérieur à la droite (généralement $0(0\;,0)$

3. Déterminer si les coordonnées $\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ de $M_{0}$ sont solutions de l'inéquation $ax+by+c>0$
pour cela :

a. Calculer l'expression  $ax_{0}+by_{0}+c$

b. Comparer le résultat à $0$ :

Si $ax_{0}+by_{0}+c<0$ alors $\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ est une solution ; donc le demi-plan contenant $M_{0}$ est solution

Si  $ax_{0}+by_{0}+c<0\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ alors n'est pas solution ; donc le demi-plan ne contenant pas $M_{0}$ est solution

4. Hachurer le demi-plan qui n'est pas solution

Tracer écrite

Méthode graphique de résolution de $ax+by+c>0$

1. Tracer dans un repère la droite $(D)$
d'équation $ax+by+c>0$

2. Choisir un point $M_{0}$ extérieur à la droite $\text{(généralement }0(0\;,0))$

3. Déterminer si les coordonnées $\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ de $M_{0}$ sont solutions de l'inéquation $ax+by+c>0$
pour cela :

a. Calculer l'expression  $ax_{0}+by_{0}+c$

b. Comparer le résultat à $0$ :

Si  $ax_{0}+by_{0}+c>0$ alors $\left(x_{0}\;,y0\right)$ est une solution ; donc le demi-plan contenant $M_{0}$ est solution
        
Si $ax_{0}+by_{0}+c<0\left(x_{0}\;,y_{0}\right)$ alors n'est pas solution ; donc le demi-plan ne contenant pas $M_{0}$ est solution

4. Hachurer le demi-plan qui n'est pas solution

2. Résolution du système d'inéquation à deux inconnues des types précédents

Activités préparatoires suit

es nombres $x$ et $y$ du $1$ sont aussi tels que la somme de l'opposé du premier et du triple du second et de $1$ est inférieur à $2$

a. Traduis cette phrase par une inéquation :

Les nombres $x$ et $y$ cherchés sont donc ceux qui vérifient à la fois l'inéquation $2x+3y$ et l'inéquation $-x+3y+1\leq 2$

Pour montrer qu'on s'intéresse aux deux inéquations, on les écrit l'une au dessous de l'autre et on les relie par une accolade.

On obtient un système d'inéquations du $1er$ degré à deux inconnues

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y<3\quad (1)\\ -x+3y+1\leq 2\quad(2) \end{array}\right.$

Résolution graphique d'un système

$-\ $J'utilise le même repère.

$-\ $Je résous graphiquement l'inéquation $(1)$ pour cela, je trace la droite $\left(D_{1}\right)$ :
 
$2x+y=3\left(Cf\text{paragraphe }\right)1$

$-\ $Je résous graphiquement l'inéquation $(2)$

pour cela, je trace la droite
$(D_{2})$ :

$-\ $Le plan est alors partagé en $4$ zones $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{4}$

Les zones $P_{1}$ et $P_{4}$ représentent les solutions de l'inéquation $$(1)$

Les zones $P_{3}$ et $P_{4}$, avec la frontière $\left(D_{3}\right)$, représentent les solutions de l'inéquation $(2)$

La zone $P_{4}$ non hachurée représente l'ensemble des solutions du système.

Exercices d'entrainement

Exercice 1

1. Résous graphiquement dans $\mathbb{R}^{2}$, le système d'inéquation $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
y+2x&\geq&1\\ y-x<0 \end{array}\right.$

Exercice 2

Résous graphiquement chaque système.

a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2&\leq&0\\ 2x+y-1&\leq&0 \end{array}\right.$

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3y&\geq& 0\\ x-2y+1&<&0 \end{array}\right.$

c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+3&\leq& 0\\ 2x+y-1&\leq& 0 \end{array}\right.$

d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x+y-5&>&0\\ 2x+y+1&<&0 \end{array}\right.$

Exercice 3

résous graphiquement chaque système

a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+3&\leq&0\\ 2x+y-1&\leq& 0 \end{array}\right.$

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-2&<&0\\ x+2y&<&-2 \end{array}\right.$

c. $\left\brace\begin{array}{rcl} y&<&3\\ x&>&-2\\ y&>&2x-1 \end{array}\right.$

d. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x&>&0\\ x&\geq& 1\\ y>-x+3.5 \end{array}\right.$