Composition de mathématique du 1er semestre - 1er S1

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :  $\sqrt{2x+1}=x+1$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivantes : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&-19\\
16x-8y-2z&=&-58\\ x-y-z&=&11 \end{array}\right.$

3. En déduire la solution du système suivant : 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{x-1}+\left(\sqrt{2x+1}-y+3\right)+z&=&-19\\
\dfrac{16}{x-1}-8\left(\sqrt{2x+1}-y+3\right)-2z&=&-58\\ \dfrac{1}{x-1}-\left(\sqrt{2y+1}-y+3\right)-z&=&11
\end{array}\right.$

4. Soit le polynôme $P(x)=ax^{4}+bx^{3}+13x^{2}+cx+6$

Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que :

$\bullet\ 30$ est le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x+1$

$\bullet\ $Le trinôme $x^{2}+x-2$ divise $P(x)$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4a$, $AC=3a$ et $BC=5a$ avec $a>0$ et $I$ milieu de $[BC]$

Soit $k\in\mathbb{R}^{\ast}$

On considère l'ensemble $\left(C_{k}\right)=\left\lbrace M\in\mathcal{P}\text{ tels que }-MA^{2}+kMAB^{2}+kMC^{2}=25\alpha^{2}k \right\rbrace$

1. Préciser la nature du triangle $ABC$

Justifier votre réponse.

2. Montrer que $A$ appartient à $\left(C_{k}\right)$

3. On suppose que $k=\dfrac{1}{2}$ et on note $\left(\mathbb{C}_{\dfrac{1}{2}}\right)$ l'ensemble obtenu.

(a) Montrer que $-MA^{2}+\dfrac{1}{2}MB^{2}+\dfrac{1}{2}MC^{2}=2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{AI}+\dfrac{AB^{2}+AC^{2}}{2}$

(b) En déduire la nature de $\left(C_{\dfrac{1}{2}}\right)$

4. On suppose que $k=1$ et on note $G$ le barycentre des points pondérés $(A\ ; \ -1)$, $(B\ ;\ 1)$ et $(C\ ;\ 1)$

Soit $f$ l'application définie par  $f(M)=-MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$, pour tout point $M$ du plan 

(a) Montrer que $G$ appartient à la médiane issue de $A$ du triangle $ABC$

(b) Montrer que $f(M)=MG^{2}+f(G)$

(c) Calculer $f(A)$ et $AG$ 

En déduire que $f(G)=O$

(d) En déduire que $\left(\mathbb{C}_{1}\right)$ est un cercle dont on précisera le centre et rayon.

(e) Construire alors $\left(\mathbb{C}_{1}\right)$

5. Montrer que $\left(\mathbb{C}_{\dfrac{1}{2}}\right)$ et $\left(\mathbb{C}_{1}\right)$ sont tangents au point $A$

Problème 

Partie A : 

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels tels que $c\neq O$

On considère l'application $h\ :\ \mathbb{R}\setminus \left\lbrace -\dfrac{d}{c}\right\rbrace\rightarrow\mathbb{R}\setminus \left\lbrace\dfrac{a}{c}\right\rbrace\\
x\rightarrow\dfrac{ax+b}{cx+d}$

1. Montrer que $h$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $h^{-1}$

2. Déterminer une relation entre $a$ et $d$ pour que : $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace -\dfrac{d}{c}\right\rbrace\;,(hoh)(x)=x$

3. On suppose que $a=-d$

Vérifier que $\forall x\in\mathbb{R}\left\lbrace\dfrac{a}{c}\right\rbrace\;,h^{-1}(x)=\dfrac{ax}+b{cx-a}$

4. On considère l'application $h_{m}\ :\ \mathbb{R}\setminus\left\lbrace \dfrac{1}{m}\right\rbrace\rightarrow\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace$ avec $m\in\mathbb{R}^{\ast}\setminus\left\lbrace -1\ ;\ 1\right\rbrace\\
x\mapsto \dfrac{x-m}{mx-1}$

(a) Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\setminus \left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace\;,\left(h_{m}oh_{m}\right)(x)=x$

b. En déduire  que $h_{m}$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $h_{m}^{-1}$

Partie B : Soit $f_{m}$ la fonction définie par $f_{m}(x)=\dfrac{x-m}{mx-1}$ avec un paramètre réel

Soit $\left(C_{m}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Déterminer le domaine de définition $D_{fm}$ de $f_{m}$ suivant les valeurs de $m$

Dans toute la suite du problème, $m$ est un entier naturel strictement strictement supérieur à $1$

2. Montrer que le point $\Omega_{m}\left(\dfrac{1}{m}\ ;\ \dfrac{1}{m}\right)$ est centre de symétrie à $\left(C_{m}\right)$

3. Montrer que $\Omega_{m}$ appartient à une droite fixe $(\Delta)$ dont on déterminera son équation 

4(a) Montrer que $\forall x\;,y\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{4}\right\rbrace$ tels que $x\in y\;,\dfrac{f_{m}(x)-f_{m}(y)}{x-y}=\dfrac{-1+m^{2}}{(mx-1)(my-1)}$ 
 
b. Étudier le sens de variation de $f_{m}$ sur $\left[-\infty\ ;\ \dfrac{1}{m}\right[$ et sur $\left[\dfrac{1}{m}\ ;\ +\infty\right[$

c. Tracer le tableau de variation de $f_{m}$

5. Montrer que toutes les courbes $\left(\mathbb{C}_{m}\right)$ passant par deux points fixes $I$ et $J$ dont on déterminera leurs coordonnées

6. Étudier la position relative de $\left(\mathbb{C}_{2}\right)$ et $\left(\mathbb{C}_{3}\right)$ sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et sur $]1\ ;\ +\infty[$

7. Sur la feuille annexe, on a tracé les courbes $\left(\mathbb{C}_{2}\right)$, $\left(\mathbb{C}_{2}\right)$ et la droite $(\Delta)$

8. Soit $\left(\Gamma\right)$ l'ensemble des points $M(x\ ;\ y)$ du plan vérifiant $mx^{2}+my^{2}-2x-2y+m\left(2-m^{2}\right)=0$

(a) Montrer que : $\dfrac{m^{4}-2m^{2}+2}{m^{2}}>0$

(b) Vérifier que $M(x\ ;\ y)\in\left(\Gamma_{m}\right)\leftrightarrow x^{2}+y^{2}-\dfrac{2}{m}x-\dfrac{2}{m}y+2m^{2}=0$

(c) Montrer que $\left(\Gamma_{m}\right)$ est cercle de centre $\Omega_{m}$ dont on précisera son rayon $r_{m}$

(d) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $8x^{4}-129x^{2}+16=0$

(e) Déterminer le(s) valeur(s) de $m$ sachant que $r_{m}=\dfrac{1}{4}\sqrt{226}$

9. Soit $\left(D_{m}\right)$ la droite d'équation $\dfrac{m^{2}-1}{m}x-\dfrac{1}{m}y+1-m^{2}=0$

(a) Montrer que le point $T_{m}(m\ ;\ 0)$ appartient $\left(D_{m}\right)$ et à $\left(\Gamma_{m}\right)$

(b) Démontrer que $d\left(\Omega_{m}\ ;\ \left(D_{m}\right)\right)=\dfrac{1}{m}\sqrt{m^{4}-2m^{2}+2}$

(c) En déduire la position relative de $\left(\Gamma_{m}\right)$ par rapport à $\left(D_{m}\right)$

10 Sur la feuille annexe, les cercles $\left(\Gamma_{m}\right)$ par rapport à $\left(D_{m}\right)$

11 Sur la feuille annexe, les cercles $\left(\Gamma_{2}\right)$, $\left(\Gamma_{3}\right)$ ainsi que les droites $\left(D_{2}\right)$ et $\left(D_{3}\right)$, sont tracés.

(a) Placer les points $T_{2}$ et $T_{3}$ sur la figure.

(b) Identifier alors les cercles $\left(\Gamma_{2}\right)$ et $\left(\Gamma_{3}\right)$ ainsi que le droites $\left(D_{2}\right)$ et $\left(D_{3}\right)$

Partie C : 

Soit $M(x\;,y)\in\left(C_{m}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

Soit $X$ et $Y$ les coordonnées de $M$ dans le repère $\left(\Omega_{m}\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

1. Exprimer $X$ en fonction de $x$ et $m$ puis $Y$ en fonction de $y$ et $m$

2. Vérifier que $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{m}\right\rbrace\;,f_{m}(x)=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1-m^{2}}{m^{2}}\times\dfrac{1}{x-\dfrac{1}{m}}$

3. En déduire que $X\in\mathbb{R}^{\ast}$ et que $f_{m}(X)=\dfrac{1-m^{2}}{m^{2}}\times\dfrac{1}{X}$ dans le repère $\left(\Omega_{m}\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$