Composition de mathématiques du premier semestre - 1er S1

Exercice 1

On considère une application $f\ :\ [4\ ;\ +\infty[\rightarrow\mathbb{R}^{+}\\ x\mapsto x\left(\sqrt{x}-2\right)^{2}$

1. Montrer que $\forall x\ ;\ y\in[4\ ;\ +\infty[\;,f(x)=f(y)\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^{2}=\left(\sqrt{y}-1\right)^{2}$

2. Démontrer que $f$ est injective 

3. Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

Exercice 2

Partie A

Les questions de cette partie sont indépendantes

1. Résoudre les équations et inéquation suivantes :

a. $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}=2$ ; 

b. $\sqrt{x^{2}-4x+1}\leq x^{2}-4x-1$

2. Résoudre suivantes les valeurs du paramètre réel $m$ le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&m\\ x+y-mz&=&-1\\ mx+y-2z&=&0 \end{array}\right.$

3. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel $m$ l'existence et le signe des racines de l'équation :

$(E)\ :\ (m-3)x^{2}-2(m+1)x+m+2=0$

1. Montrer que le polynôme $P(x)$ est divisible par $H(x)=x(x+1)$

2. Montrer que $P(x)=x(x+1)\left[\Sigma_{k=1}^{2n-1}(1+x)^{k-1}-\Sigma_{k=o}^{2n-2 }x^{k}(1)^{2n-2-k}\right]$

Vous pouvez utiliser la relation : $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left[\Sigma_{k=o}^{n-1 }a^{k}b^{n-1-k}\right]\;,n\in\mathbb{N}^{\ast}$

3. Déduire des précédentes que pour $n=2$, $P(x)=H(x)(4x+2)$

Exercice 3

$ABC$ est un triangle, on pose : $BC=a$ ; $AC=b$ et $AB=c$

Soit $A_{1}$ le milieu du segment $[BC]$ ; $B_{1}$ le milieu de $[AC]$ et $C_{1}$ celui de $[AB]$

Soit $G$ l'isobarycentre du triangle $ABC$

1. Montrer que pour tout point $M$ du plan, $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=3MG^{2}+\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}$

2. En calculant de deux façons différentes $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^{2}$, établir que :

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA}_{1}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=3MG^{2}-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}$

3. On considère les points communs aux cercles de diamètre $\left[AA_{1}\right]$ et $[BC]$

Montrer que lorsqu'ils existent, ils appartiennent à un cercle de centre $G$ dont on
déterminera le rayon en fonction de $a$, $b$ et $c$

Exercice 4

Les deux parties sont indépendantes :

Partie A :

1. Résoudre dans $[O\ ;\ \pi]$ l'équation : $(E)\ :\ 4\cos^{2}(x)+2\left(1-\sqrt{3}\right)\cos x-\sqrt{3}\leq O$

2. Résoudre dans $[O\ ;\ \pi]$ l'inéquation suivantes : $(F)\ :\ \dfrac{1-\cos 2x}{\cos 2x}\geq 1$

Partie B

Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que $x\neq\dfrac{k\pi}{8}$ avec $k\sin\mathbb{Z}$ 

On pose : $A(x)=\tan(x)\times\tan(2x)\times\tan(3x)$

1. Démontrer que $\sin(2a)=\sin(a)\cos(a)$ et $\sin(a)\sin(b)=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b)-(\cos(a+b)\right]$ avec $a$ et $b$ sont des réels.

2.a. Montrer que : $A(x)=\dfrac{4\sin^{2}(x)\times \sin(2x)}{\cos(4x)}$

b. En déduire que : $A(x)=\dfrac{2\sin(x)\times(\cos(x)-\cos(3x))}{\cos(4x)}$

3. On suppose que : $2x=\dfrac{\pi}{3}$

a. Montrer que $A(x)=\dfrac{\sin(2x)-\sin(x)}{\cos(4x)}$, puis $A(x)=\dfrac{\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos(4x)}$

b. En déduire que : $\tan\left(\dfrac{\pi}{9}\right) \times \tan\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)\times\tan\left(\dfrac{4\pi}{9}\right)}=\sqrt{3}$