Exercice : 01 

Soient $A$ et $B$ deux points d’une droite$ ( \Delta ), a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $0<\alpha<b$

1. Démontrer qu’il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
${(A a), (B,b )}$ et $D$ soit le barycentre des points des points ${(A a), (B,-b )}$ .

2. Préciser la position de ces points par rapport aux points $A$ et $B$ .

3. La droite $(\Delta )$ est muni d’un repère $( A , B )$ . 

calculer en fonction de $a$ et $b$ , les
abscisses des points $C$ et $D$ et vérifier que :
$\dfrac{\bar{CA}}{CB}=\dfrac{\bar{DA}}{DB}$

4. démontrer que :

a-$ A$ est le barycentre des points ${(C,a+b),(D,a -b)}$

b- $B$ est le barycentre des points ${(C,a +b),(D,b-c)}$

Exercice : 02 

ABC est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle $\omega$ de centre $O$ et de
rayon $R. A’$ est le point diamétralement opposé à $A$ sur $\Omega$ .

$M$ est un point du demi-cercle $ABA’$. 

On pose $\alpha=(\vec{OA},\vec{OM}), 0<\alpha<\pi$ .

1°) Prouver que
$MA=2R\sin\dfrac{\alpha}{2}$

2°) Exprimer $MB$ et $MC$ en fonction de $R$ et $\alpha$.

3°) En déduire que $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ ne dépend du point $M$. 

4°) a) Calculer l’aire du triangle $MBC$ en fonction de $R$ et $\alpha$ . 

b) Calculer $\alpha$ pour que cette aire soit égale à $\sqrt{\sqrt{3}}{4}R^{2}$

Exercice : 03 

1°) Pour tout réel exprimer $\cos (3x)$ en fonction de $\cos (x)$

2°) En déduire les réels $\alpha=\dfrac{\pi}{9},\beta=\dfrac{7\pi}{9}$ et $\gamma=\dfrac{13\pi}{9}$ et  sont racines du polynôme
$P( X ) = 8X^{3} – 6X – 1 $. 

3°) Donner les valeurs exactes des réels suivants : 

$A=\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}+\cos\dfrac{13\pi}{9};B=\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{7\pi}{9}\cos\dfrac{13\pi}{9}
C=\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{7\pi}{9}+\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{13\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}\cos\dfrac{13\pi}{9}$

Exercice : 04 

Calculer les limites suivantes

$\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{-3\sqrt{x+2}+6}{2x{3}-7x-2};\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{x^{3}+2x^{2}-1}{x+1};
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x(\sqrt{x^{2}+1}-x);\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}+1};\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1+\sin x-\cos x}{1-\sin x-\cos x}$;

$\lim\limits_{x\rightarrow -1}\dfrac{x\sqrt{x+2}+1}{x+1};\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1}{x};\lim\limits_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2\cos x-\sqrt{3}}{6x-\pi};\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x 4x}{x^{2}};\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sum^{\pi}_{k=0}\dfrac{\sin kx}{x}
∀x ∈ \mathbb{N}$