Composition du 1er semestre : épreuve de mathématique
Exercice 1
1. Rappeler les identités remarquables suivantes : $(a+b)^{3}$ ; $(a-b)^{3}$
2. Rappeler la formule de l'échelle
3. Compléter :
a. Si $a$ est réel strictement positif $\left(a^{-2}\right)^{3}=\ldots$
b. Si $n$ et $m$ sont deux entiers naturels et $x$ un réel alors :
$\dfrac{x^{m}}{x^{n}}=\ldots$ ;
$x^{m}\times x^{n}=\ldots$ ;
$\dfrac{1}{x^{n}}=\ldots$
c. Si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels avec $b$, $c$ et $d$ non nuls : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{\ldots\times \ldots}{\ldots\times \ldots}$
d. Augmenter de $k\%$ revient à multiplier la valeur initiale par $\ldots\ldots\ldots\ldots$
3. Choisir la bonne réponse :
a. Si $a$ et $b$ sont des réels non nuls alors $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ est égal :
$a_{1}.\dfrac{a^{n}}{b}$
$a_{2}.\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
$a_{3}.\dfrac{a}{b^{n}}$
b. On considère les réels $x$, $y$, $z$ et $t$ non nuls, on a : $\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{t}$ est
égal
$b_{1}.\dfrac{x-z}{y+t}$
$b_{2}.\dfrac{x+z}{y\times t}$
$b_{3}.\dfrac{x\times t+y\times z}{y\times t}$
4. Répondre par vrai ou faux
a. Pour tout réel $a>0$ ; $|x|< a\Leftrightarrow-a<x<a$
b. Pour tout réel $a>0$ ; $|x|> a\Leftrightarrow x>$ ou $x<-a$
Exercice 2
1. Écrire sous forme $a\sqrt{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}$
$A=2\sqrt{2}-7\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$B=\sqrt{28}-12\sqrt{700}+3\sqrt{847}-5\sqrt{7}$
2. Développer l'expression suivantes :
$C=(5x-3)^{3}$
$D=(x-3)\left(x^{2}+3x+9\right)$
3. Calculer l'expression $E=\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{2}}$
Exercice 3 :
Partie $A$ : Au mois d'octobre, un lycée comptait 1200 élèves dont $900$ en série $S$ et $300$ en série $L$
1. Déterminer le pourcentage des élèves qui sont en $S$ et le pourcentage des élèves qui sont en $L$
2. Au mois de novembre $10\%$ des élèves de la série $S$ ont viré pour aller en série $L$
Calculer le nouvel effectif des élèves en série $L$
Partie $B$ : On considère le tableau de proportionnalité suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 4&6&8&12&2b\\ \hline 2&a&4&6&7\\ \hline \end{array}$
1. Déterminer le coefficient de proportionnalité
2. Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$
3. Représenter cette situation dans un repère orthonormé