Composition du premier semestre - 1er S1

Exercice 1

On considère la fonction numérique définie par : $f(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin (2x)-\sqrt{2 \cos x}}$

1. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin (2x)-\sqrt{2} \cos x=0$

b. Déduis $D_{f}$

2. Montre que pour tout $x\in D_{f}\;, f(x)=\dfrac{\tan x-1}{2\sin x-\sqrt{2}}$

a. Résoudre dans $[0\ ;\ 2\pi]$ l'équation $f(x)=0$

b. Résoudre dans $[0\ ; 2\pi]$ le système suivant $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\tan x-1&>&0\\ 2\sin x-\sqrt{2}&>&0 \end{array}\right.$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4a$, $AC=3a$ et $BC=5a$ avec $a 0$

Soit $I$ milieu de $[BC]$

1. Préciser la nature du triangle $ABC$

2. Soit $g$ l'application définie par $g(M)=-2MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$, pour tout point $M$ du plan.

a. Montrer que $g(x)=4M\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AI}+AB^{2}+AC^{2}$

b. Déterminer et représenter l'ensemble $(\Delta)$ des point $M$ du plan tels que $g(M)=25a^{2}$

3. Soit $f$ l'application définie par $f(M)=-MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$, pour tout point $M$ du plan et $G$ le barycentre des points pondérées $(A\ ;\ -1)$, $(B\ ;\ 1)$ et $(C\ ;\ 1)$

a. Montrer que $G$ appartient à la médiane issue de $A$ du triangle $ABC$

b. Montrer que $f(M)=MG^{2}+f(G)$

c. Calculer $f(A)$

d. Montrer que $f(G)=0$

e. Déterminer et représenter l'ensemble $(C)$ des points $M$ du plan tels que $f(M)=25a^{2}$

f. Vérifier que $A$ appartient à $(A)$

Exercice 3

On considère $f$ définie par 
$f\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow ]-1\ ;\ 1]\\
x\mapsto fx)=\dfrac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}$

1. Justifier que $f$ est une application
 
2. Montrer que $f$ est bijective
 
3. Donner l'expression de $f^{-1}(x)$ en déduire $f'^{-1}(0)$
 
Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x-3E\left(\dfrac{x}{3}\right)}$

1. Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$

2. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$

3. Montrer que $3$ est une période de $f$ en déduire qu'on peut restreindre l'étude de $f$ sur $[0\ ;\ 3[$

4. Simplifier $f(x)$ sur $[0\ ;\ 3]$

5. Construire la courbe de $f$ sur $]-3\ ;\ 3[$ puis sur $]-6\ ;\ 6[$

a. Résoudre dans $[0\ ;\ 3[$ l'équation $f(x)=\sqrt{2}$

b. En déduire les solutions de l'équation $f(x)=\sqrt{2}$ dans $]-3\ ;\ 3[$ puis dans $]-6\ ;\ 6[$