Composition du premier semestre - 1ere S1

Exercice 1 

On considère l'équation \((E): (m + 1)x^2 + 2mx + m - 5 = 0\).

1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), l'existence et le signe des racines de \((E)\). $(1~\text{pt})$

2.  Déterminer \(m\) pour que \((E)\) ait deux racines \(x'\) et \(x''\) vérifiant \(-1 < x' < 1 < x''\). $(0.75~\text{pt})$

3.Trouver une relation indépendante de \(m\) entre les racines de \((E)\). $(0.5~\text{pt})$

4. Former l'équation du second degré ayant pour racines \((3x' - 2)\) et \((3x'' - 2)\). $(0.5~\text{pt})$

5. En déduire \(m\) pour que l'on ait \(3x' - 2 = 1\). $(0.5~\text{pt})$

6. Déterminer \(m\) pour que l'inégalité \((m + 1)x^2 + 2mx + m - 5 < 0\) soit vérifiée \(\forall m\). $(0.75~\text{pt})$

Exercice 2 

1. Déterminer un polynôme \(P(x)\) de degré 6, divisible par \((x - 1)^3\) et tel que \(1 + P(x)\) soit divisible par \(x^4\). $(1.5~\text{pt})$
 
2. Soit \(P(x)\) un polynôme de degré \(n\). 

Quel est le degré du polynôme \(Q(x) = P(x) - P(x - 1)\) ?  $(0.5~\text{pt})$
 
2.On considère s'il en existe des polynômes \(f(x)\) tels que \(f(0) = 0\) et \(f(x) - f(x - 1) = x^k\).
    
a. Prouver que \(f(x)\) est de degré \(k + 1\). $(0.5~\text{pt})$

b. Prouver que \(f(x)\) est divisible par \(x^2 + x\). $(0.5~\text{pt})$
         
c. Déterminer le polynôme \(f(x)\) pour le cas \(k = 3\). $(0.5~\text{pt})$

d. En déduire l'expression en fonction de \(n\) de la somme :
        \[
        S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3. (0.5~\text{pt})
        \]
    

Exercice 3

Soient \((C)\) et \((C')\) deux cercles sécants en deux points \(A\) et \(B\). 

On choisit un point \(C\) sur \((C)\) et un point \(D\) sur \((C')\) distincts de \(A\) et \(B\). 

Un point \(P\) décrit le cercle \((C)\). 

La droite \((PA)\) coupe le cercle \((C')\) en un point \(Q\) (lorsque \(P = A\), on considère que \((PA)\) est la tangente en \(A\) à \((C)\)).

1. Montrer que \((\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}) \equiv (\overrightarrow{PC}, \overrightarrow{QD}) \; [\pi]\). $(1~\text{pt})$

2. En déduire que \((PC)\) et \((QD)\) sont sécantes en un point \(R\) si et seulement si \(C, B, D\) ne sont pas alignés. $(1~\text{pt})$

3. On suppose \(B, C, D\) non alignés. Montrer que \((\overrightarrow{RC}, \overrightarrow{RD}) \equiv (\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BD}) \; [\pi]\). $(1~\text{pt})$

4. En déduire l'ensemble décrit par \(R\) quand \(P\) décrit \((C)\). $(1~\text{pt})$

Exercice 4

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = a\) et \(AC = 2a\). \(I\) désigne le milieu de \([AC]\) et \(G\) barycentre de \((A,3), (B,-2), (C,1)\). On complétera la figure au fur et à mesure.

1. Construire le point \(G\) et préciser la nature du quadrilatère \(ABIG\). $(1.5~\text{pt})$

2. Exprimer en fonction de \(a\) les distances \(GA, GB, GC\). (1~\text{pt})

3. À tout point \(M\) du plan, on associe maintenant le nombre réel :
    \[
    f(M) = 3MA^2 - 2MB^2 + MC^2.
    \]
    
a. Exprimer \(f(M)\) en fonction de \(MG\) et \(a\). $(1~\text{pt})$

b. Déterminer et construire \((\Gamma)\) l'ensemble des \(M\) du plan tel que \(f(M) = 2a^2\).$ (1.5~\text{pt})$
    
4. À tout point \(M\) du plan, on associe maintenant le nombre réel :
    \[
    h(M) = 3MA^2 - 2MB^2 - MC^2.
    \]
    
a. Démontrer qu'il existe un vecteur \(\vec{U}\) non nul tel que \(h(M) = \vec{MB} \cdot \vec{U} - 2a^2\). $(1~\text{pt})$
         
b. On désigne par \((\Delta)\) l’ensemble des \(M\) du plan tel que \(h(M) = -2a^2\). Vérifier que les points \(I\) et \(B\) appartiennent à \((\Delta)\) et préciser la nature de cet ensemble. Construire \((\Delta)\). $(1~\text{pt})$
    
5. \((\Gamma)\) et \((\Delta)\) sont sécants en deux points \(E\) et \(F\). Montrer que les triangles \(GEC\) et \(GFC\) sont équilatéraux. $(1~\text{pt})$