Composition n°1 de mathématique - 1er S1

Exercice 1

Soient $A$ et $B$ deux points d'une droite $(\Delta)$, $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : 0  a  b

1. Démontrer qu'il existe deux points $C$ et $D$ tels que $C$ soit le barycentre des points
$\left\lbrace(A\;,a)\;,(B\;,b)\right\rbrace$ et $D$ soit le barycentre des points des points

$\left\lbrace A\;,a)(B\;,-B) \right\rbrace$

2. Préciser la position de ces points par rapport aux points $A$ et $B$

3. La droite $(\Delta)$ est muni d'un repère $(A\;,B)$ calculer en fonction de $a$ et $b$ , les abscisses des points $C$ et $D$ et vérifier que : $\dfrac{\overline{CA}}{CB}=-\dfrac{\overline{DA}}{DB}$

4. démontrer que :

a. $A$ est le barycentre des points $\left\lbrace(C\;,a+b)\;,(D\;,a-b)\right\rbrace$

b. $B$ est le barycentre des point $\left\lbrace(C\;,a+b)\;,(D\;,b-c)\right\rbrace$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle équilatéral direct inscrit dans un cercle $\Omega$ de centre $O$ et de rayon $R.$ $A'$ est le point diamétralement opposé à $A$ sur $\Omega$

$M$ est un point du demi-cercle $ABA'$

On pose $\alpha=\left(\overline{OA}\;,\overline{OM}\right)\;,O\prec \alpha\prec\pi$

1. Prouver que $MA=2R\sin\dfrac{a}{2}$

2. Exprimer $MB$ et $MC$ en fonction de $R$ et $\alpha$

3. En déduire que $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ ne dépend du point $M$

4.a. Calculer l'aire du triangle $MBC$ en fonction de $R$ et $\alpha$

b. Calculer $\alpha$ pour que cette aire soit égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$

Exercice 3

1. Pour tout réel exprimer $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$

2. En déduire les réels $\alpha=\dfrac{\pi}{9}$, $\beta=\dfrac{7\pi}{9}$ et $\lambda=\dfrac{13\pi}{9}$ sont racines du polynôme $P(X)=8X^{3}-6X-1$

3. Donner les valeurs exactes des réels suivants :

$A=\cos\dfrac{\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}+\cos\dfrac{13\pi}{9}$ ; 

$B=\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{7\pi}{9}\cos\dfrac{13\pi}{9}$

$C=\cos\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{7\pi}{9}+\cos+\dfrac{\pi}{9}\cos\dfrac{13\pi}{9}+\cos\dfrac{7\pi}{9}\cos\dfrac{13\pi}{9}$

Exercice 4

Calculer les limites suivantes

$\lim\limits_{x\longrightarrow 2}\dfrac{-3\sqrt{x+2}+6}{2x^{3}-7x-2}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow -1}\dfrac{x^{3}+2x^{2}-1}{x+1}$  ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}+1}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{1+\sin x-\cos x}{1-\sin x-\cos x}$ ;

$\lim\limits_{x\longrightarrow -1}\dfrac{x\sqrt{x+2}+}{x+1}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-1}{x}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow \dfrac{\pi}{6}\dfrac{2\cos x-\sqrt{3}}{6x-\pi}}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^{2}}$ ; 

$\lim\limits_{x\longrightarrow 0}\Sigma_{k=0}^{\pi}\dfrac{\sin kx}{x}\;,\forall n\in\mathbb{N}$