Exercice 1:

1. Résoudre dans $ℝ$ :

a. $\sqrt{2x^{2} − 3x − 2} = 2x^{2} − 3x − 1 $

b. $\sqrt{x^{2} − 3x + 2} ≥ x + 3$

2. Résoudre dans $ℝ$ suivant les valeurs de $m: (m^{2} − 1)(−2x^{2} + 3x − 1) < 0$

Exercice 2 : 

On dit qu’un polynôme $P(x)$ est Amarien s’il vérifie $(x − 16)P(2x) = 16(x − 1)P(x)$ pour tout
$$x ∈ ℝ$.
1. Montrer que si $P(x)$ est Amarien alors il existe un polynôme $Q(x)$ tel que
$P(x) = (x − 2)(x − 4)(x − 8)(x − 16)Q(x)$.

2. En déduire tous les polynômes Amarien de degré $4$. 

3. On suppose que $P(x)$ est Amarien et $P(25) = 0$.

a. Montrer que $P(26) = P(27) = 0$. 

Quelle conjecture peut-on en tirer ? 

b. On suppose que cette conjecture est prouvée, que peut-on dire de $P(x)$ ? 

Exercice 3 :

Soit $ABC$ un triangle, $a, b > 0$. 

On appelle point de Dr FALL, le point $G$ défini par
$G = bary{(A, a) ; (B, a) ; (C, b)}$.

1. a. Justifier que $(A;\vec{AB};\vec{AC} )$ est un repère du plan.

b. En utilisant ce repère, montrer que $(AC)$ et $(BG)$ sont sécantes.

2. On note $I$ point d’intersection de $(AC)$ et $(BG)$ et on admet que $(AB) ∩ (CG) = \left\lbrace J \right\rbrace$ et $(BC) ∩ (AG) = \left\lbrace K \right\rbrace$.

a. Montrer que $I = bary{(A, a) ; (C, b)}; j$ est le milieu de $[AB]$ et $K = bary{(B, a) ; (C, b)}$.

c. Montrer que $(AB) // (IK)$. 

3. On donne $b = 2a$.

a. Construire $J$ et $K$.

b. En déduire la construction du point de Dr FALL. 

Exercice 4 : 

Soit $A$ et $B$ tels que $AB = 2cm$ et l’application du plan $P$ dans $$\begin{array}{rcl}ℝ, f: &P →& ℝ\\
M &↦& f(M) = ⃗\vec{AB} .\vec{AM}\end{array}$$

1. Soit $k ∈ ℝ$.

a. Déterminer l’ensemble des points M de $P$ vérifiant $f(M) = k$.

b. Que représente cet ensemble pour $f$?

Construisez-le pour $k = 0$.

2. $f$ est-elle surjective ? injective ? (Justifier votre réponse :

On pourra utiliser la question 1. 

3. Quel est l’ensemble des points $M$ de de $P$ vérifiant $f(M) > 0$? 

Exercice 5 : 

 Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = a$ et $AC = 2 a$. 

Soit $I$ le milieu de $[AC]$ et $G$ le barycentre du système de points ${(A, 3); (B, −2); (C, 1)}$.

1) Construire $G$ puis déterminer la nature du quadrilatère $ABIG$.

2) Exprimer $GA;GB$ et $GC$ en fonction de $a$. 

3) Soit $f: M ↦ 3 MA^{2} − 2 MB^{2} + MC^{2}$.

a) Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $a$. 

b) Déterminer et construire l’ensemble $(C)$ des points $M$ tels que $f(M) = 2a^{2}$.

2) Soit $h: M ↦ 3 MA^{2} − 2 MB^{2} + MC^{2}$.

a) Démontrer qu’il existe un vecteur $\vec{U}$ non nul tel que $h(M) = \vec{MB}.\vec{U} − 2a^{2}$.

b) Soit $(Δ)$ , l’ensemble des points $M$ tels que $h(M) = −2a^{2}$ . 

Vérifier que $I$ et $B$
appartiennent à $(Δ)$ puis préciser la nature de $(Δ)$. Construire $(Δ)$. 

3) $(Δ)$ et $(C)$ sont sécants en deux points $E$ et $F$. 

Démontrer que $GEC$ et $GFC$ sont équilatéraux.