Contrôle contenu n° du premier 1er S1

Exercice 1

On pose $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

1.Vérifier que $\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\cdot\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

2. (a) Montrer que $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=\left(\cos x+\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)\left(\sin x-\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\right)$

b. Résoudre dans $\left[0\ ;\ \pi\right]$ l'équation $A(x)=0$

3.a. Montrer que $\left(\forall x\in\mathbb{R}\right)$ ; $A(x)=2\cos^{2}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{16}\right)\sin\left(x-\dfrac{\pi}{8}\right)$

b. Vérifier que $\left(\forall x\in\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\right)$ ; $\cos\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{16}\right)\neq 0$

c. Résoudre dans $\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ l'inéquation $A(x)> 0$

Exercice 2

Partie A

On considère la fonction définie par $f(x)=1+\sqrt{x-4E\left(\dfrac{x}{4}\right)}$

1; Montrer que $D_{f}=\mathbb{R}$

2. Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}$ on $1\leq f(x)< 3$

Partie B

Soit la fonction $f$ définie par :$\dfrac{|x+1|-|x-1|}{|x+1|+|x-1|}$

1.Déterminer le domaine de définition de $f$

2. Étudier la parité de $f$ 

Interpréter graphiquement le résultat.

3. Montrer que $f$ est majorée par $1$ sur $\mathbb{R}$

4. Calculer $f(1)$ puis déduire l'existence d'un extrémum de $f$ sur $\mathbb{R}$

5. Déterminer la restriction $g$ de $f$ à l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$

6. Soit la fonction $h\ :\ x\mapsto \dfrac{1}{x}$

Démontrer que : $\forall x\neq 0\;,\left(f\circ h\right)(x)=f(x)$

Exercice 3

Le plan est orienté dans le sens direct Soient $ABC$ un triangle tels que $\left(\overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$ et $\left(\overrightarrow{BA}\;,\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{\pi}{4}\left[2\pi\right]$ et on désigne $C$ son cercle circonscrit

1. Montrer $\left(\overrightarrow{CA}\;,\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{5\pi}{12}\left[2\pi\right]$

2. Déterminer puis construire $\Upsilon=\left\lbrace M\in(\rho)/\left(\overrightarrow{MC}\;,\overrightarrow{MB}\right)=\dfrac{5\pi}{12}[2\pi]\right\rbrace$

3.a. Construire le point $E$ de $\Upsilon$ tel que le triangle $BCE$ soit isocèle en $C$

b. Montrer que $\left(\overrightarrow{BE}\;,\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{5\pi}{12}[2\pi]$

c. En déduire que les droites $(BE)$ et $(AC)$ sont parallèles

4. La droite $(BE)$ recoupe le cercle $C$ en $F$ montrer que le quadrilatère $ACEF$ est un parallélogramme